數(shù)學(xué)認(rèn)知理解基礎(chǔ)的界定

我們知道，我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知理解還是比較混沌的，且互相之間缺乏基本共識(shí)。在面對(duì)混沌不清時(shí)，首先得有光——看得見實(shí)體，然后才有認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到實(shí)體的現(xiàn)象、性質(zhì)與規(guī)律，再次才有方法，成為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的手段。這也許是哲學(xué)上的本體論、方法、認(rèn)識(shí)論——形而上學(xué)的原始由來吧。

我們研究理解數(shù)學(xué)，為什么要做基礎(chǔ)界定呢？很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲覀儗?duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知、理解基礎(chǔ)比較混沌，不做出基礎(chǔ)界定，大家自說自話，無法達(dá)成真正的認(rèn)知和理解。

基礎(chǔ)界定之一：

1.物、事、頻率、時(shí)、空

事實(shí)上，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，與哲學(xué)尤其是形而上學(xué)不分。

所以，研究或理解數(shù)學(xué)，在基礎(chǔ)上與哲學(xué)、形而上學(xué)差不多。

我們先來看何為“物”。

1.1：物：客觀存在。我們感官可以感受到的一切自然萬(wàn)物、人工制品、人、群體等可見可感的存在。

1.2：事：物的運(yùn)動(dòng)、變化。

1.3：頻率：物運(yùn)動(dòng)或變化的有無、周期。也就我們平時(shí)常說的——規(guī)律。事實(shí)上，規(guī)律的實(shí)質(zhì)就是頻率，或說是周期。

1.4：時(shí)：物的運(yùn)動(dòng)或變化過程的有無、頻率，也稱時(shí)間。

1.5：空：物事存在與否，存在的大小、遠(yuǎn)近（位置）、速度。

我們討論的一切認(rèn)知和理解，都是在這些要素的感知和界定范圍之內(nèi)。

我們討論、認(rèn)知和理解自然萬(wàn)物等，根據(jù)奧卡姆剃刀原則，有這些實(shí)體就足夠了。

實(shí)質(zhì)上，除了物實(shí)體外，其他實(shí)體（事、空、頻率、時(shí)）都是以物為原點(diǎn)而做出的推理和界定，這樣，就形成了一個(gè)簡(jiǎn)潔的、統(tǒng)一的概念體系和邏輯鏈。

我們必須注意“物→空→事→頻率→時(shí)”之間的邏輯關(guān)系。

這些基本的概念不太好理解，

而且在我們現(xiàn)在（用中式數(shù)學(xué)理解看）看來似對(duì)理解數(shù)學(xué)也無用處。但事實(shí)上，這是認(rèn)知和理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵要素——這其實(shí)就是古希臘理念、理性、Logos、概念、邏輯推理的體現(xiàn)。

不從這些出發(fā)、不以這些為依據(jù)，我們學(xué)到的和理解的就不是西方數(shù)學(xué)——真正的數(shù)學(xué)，擺脫不了中國(guó)古代數(shù)學(xué)和文化——如果中國(guó)古代的算術(shù)可以成為數(shù)學(xué)的話。

認(rèn)知和理解數(shù)學(xué)，第一要害是理念（Logos理念、絕對(duì)理念），第二要害是事實(shí)（數(shù)學(xué)事實(shí)），第三要害是概念（用分類比較系統(tǒng)界定事實(shí)），第四要害是邏輯推理，第五要害是證明，第六要害才是計(jì)算、圖形等。

越看似簡(jiǎn)單的東西，越不容易理解和界定。像物、事、頻率、時(shí)間、空間，對(duì)我們而言太習(xí)以為常了。但，大家認(rèn)真仔細(xì)想過沒有？這個(gè)習(xí)以為常，是約定俗成造成的；約定俗成，就不是我們能認(rèn)知和理解的，我們只能感知和意會(huì)。

西方數(shù)學(xué)——真正的數(shù)學(xué)，除了極少數(shù)直覺經(jīng)驗(yàn)共識(shí)（公設(shè)、公理）算是約定俗成外，其他一切都必須是基于指定共識(shí)、理念、事實(shí)、分類比較系統(tǒng)形成的概念、邏輯、命題，不能有約定俗成、觀念、感知經(jīng)驗(yàn)及其他非事實(shí)、非邏輯的東西。

基礎(chǔ)界定之二：

2.感覺、感知、認(rèn)知、探知

這個(gè)更為重要，也更為費(fèi)解——主要是我國(guó)的師范教育及學(xué)科專業(yè)教育，很少講解學(xué)習(xí)，或說

認(rèn)知、理解的這些基本事實(shí)和規(guī)律。

感覺、感知、認(rèn)知、探知，是我們對(duì)事物、時(shí)空、頻率、知識(shí)等認(rèn)知、理解和應(yīng)用的基礎(chǔ)。四者各不相同，互相不能替代。

2.1：感覺：即感受、體驗(yàn)等，是人類意識(shí)、認(rèn)知等來源——通過感官接受聲、光、電、熱等信號(hào)，對(duì)物事、時(shí)空、頻率等產(chǎn)生感受和體驗(yàn)。

人類的感覺主要有視覺、聽覺、動(dòng)覺。主要是感覺物事、時(shí)空、頻率有無利害。這是學(xué)習(xí)的源頭——開

始之處。

2.2：感知：即經(jīng)驗(yàn)、直覺等，對(duì)感覺（感受、體驗(yàn)）的區(qū)分與判斷。是人類認(rèn)知與理解的起點(diǎn)，也是各種意的來源——通過區(qū)分與判斷信號(hào)而形成信息，生成人類的感性認(rèn)識(shí)。

這是學(xué)習(xí)、教學(xué)的起點(diǎn)。

主要是通過感知（經(jīng)驗(yàn)、直覺）來區(qū)分與判斷事物的存在、時(shí)空、頻率，并在習(xí)俗或文化場(chǎng)中形成記憶和表達(dá)的各種信息和“會(huì)意”——感性認(rèn)識(shí)是人類對(duì)自然萬(wàn)物等記憶與理解的源頭與起點(diǎn)。

感知信息、形成會(huì)意、發(fā)生記憶，主要通過人類的視聽動(dòng)覺神經(jīng)信號(hào)系統(tǒng)，伴隨發(fā)生興趣、情感、價(jià)值感等，形成量感、質(zhì)感、頻率感（周期感、規(guī)律感）。

2.3：認(rèn)知：即利用觀念（理念）、工具和方法，對(duì)感知信息進(jìn)行有目的或方向的建構(gòu)而形成知識(shí)——形成各種義（詞義、定義等）；或利用觀念（理念）、工具和方法結(jié)合感知信息（經(jīng)驗(yàn)、直覺），對(duì)書面信息（知識(shí)）進(jìn)行感知還原。即還原為具體的經(jīng)驗(yàn)或直覺（還原為各種意——音意、形意等）。

認(rèn)知建構(gòu)：信息→知識(shí)；知

識(shí)→信息。

會(huì)意→定義；定義→會(huì)意。

認(rèn)知，建構(gòu)為知識(shí)；知識(shí)，解構(gòu)為信息或會(huì)意。

對(duì)現(xiàn)代人類而言，認(rèn)知發(fā)生，主要是面對(duì)書面信息。人類認(rèn)知的基本要素有：音、形、文字、數(shù)字、

指令符號(hào)。

2.4：探知：即對(duì)感知或認(rèn)知進(jìn)行類推（聯(lián)想）、推理、歸納、統(tǒng)計(jì)等，形成概念、推理、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)。

對(duì)感知、認(rèn)知的探知，形成理解和應(yīng)用——結(jié)合興趣、情感、價(jià)值、效能感等，形成穩(wěn)定、精確的存在感、意義感、價(jià)值感。

對(duì)現(xiàn)代人類而言，知識(shí)不再是建立在感知、認(rèn)知基礎(chǔ)之上，而是建立在探知之上。

界定完認(rèn)知基礎(chǔ)，再來界定一下認(rèn)知的內(nèi)容元要素。

我們知道數(shù)學(xué)在書面上，是由文字、圖形、數(shù)字、指令符號(hào)組成的。那么，數(shù)學(xué)的這些文字、圖形、數(shù)字、符號(hào)，是否與語(yǔ)文或其他學(xué)科一樣呢？

基礎(chǔ)界定之三：

3.命名，詞意（字意）、詞義（字義），定義、概念

3.1：命名：即給予事物或事實(shí)以名稱。命名是人類認(rèn)知事物或事實(shí)的最基礎(chǔ)行為。

因?yàn)槊纬闪巳祟愖钤肌⒆罨镜淖衷~。

3.2：詞意：字詞的含意——會(huì)意。

3.3：詞義：字詞的定義——界定。

3.4：定義：類比+類推。

屬于人類的聯(lián)想（類比）類推范疇。用簡(jiǎn)潔明確的語(yǔ)言對(duì)事物的本質(zhì)特征作概括性說明，即給出確定的意思。

一般而言，是通過對(duì)某個(gè)命名

的詞匯賦與一定的意義或形象（有利于交流中的識(shí)別及認(rèn)同），或用已知、熟知的來解釋和形容未知、陌生的事物并加以區(qū)別，給出確定的意思——定義。

3.5：概念：“屬+種差”。

屬于人類的邏輯推理范疇。是建立在嚴(yán)格的分類比較系統(tǒng)基礎(chǔ)上，對(duì)物、事、規(guī)律（頻率）、時(shí)、空等進(jìn)行分類比較，形成確定的內(nèi)涵和外延——“屬+種差”。

大家注意，書面的數(shù)學(xué)，在我們眼前呈現(xiàn)的是文字、數(shù)字、圖形、符號(hào)等。但沒有直接呈現(xiàn)出來的——所謂隱形知識(shí)，其基本要素就是：名稱、詞意、詞義、定義、概念。

從詞義、定義，到概念，是人類思維的一個(gè)飛躍。而這個(gè)飛躍，也恰恰是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)。

基礎(chǔ)界定之四：

4.量感、形感、質(zhì)感；計(jì)量、測(cè)量、估量；數(shù)、圖、質(zhì)；概念

這里，我用分號(hào)區(qū)分開了這四組概念，有互相對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后歸一，統(tǒng)一于概念。

4.1：量感：對(duì)大小、多少、遠(yuǎn)近、高低、輕重等的感覺；

4.2：形感：對(duì)各種事物形狀、形態(tài)的感覺；

4.3：質(zhì)感：對(duì)各種物的質(zhì)地（軟硬、冷熱等）的感覺；

因?yàn)榱扛小⑿胃小①|(zhì)感的發(fā)生和發(fā)展，加上生活和交流的需要，逐步產(chǎn)生了——

4.4：計(jì)量：對(duì)多少、大小、遠(yuǎn)近等量進(jìn)行計(jì)數(shù)和表示，產(chǎn)生了記“個(gè)”數(shù)；

4.5：測(cè)量：對(duì)各種形狀、形態(tài)進(jìn)行觀測(cè)、測(cè)繪，產(chǎn)生了測(cè)量、繪圖、記“比較”數(shù)；

4.6：估量：對(duì)各種質(zhì)地（軟硬、冷熱等）進(jìn)行估量，產(chǎn)生了測(cè)量、記“比較”數(shù)。

數(shù)，產(chǎn)生了。

4.7：數(shù)字：對(duì)兩種數(shù)都進(jìn)行標(biāo)記，產(chǎn)生了數(shù)字。數(shù)字從產(chǎn)生起，就形成了兩種性質(zhì)不同的數(shù)：個(gè)數(shù)、比較數(shù)——在分類比較系統(tǒng)中形成概念數(shù)：基數(shù)、序數(shù)。

4.8：圖形：對(duì)各種圖像、形狀、形態(tài)進(jìn)行分類比較后，形成幾何圖形——也即概念圖形。

4.9：質(zhì)：對(duì)各種質(zhì)的認(rèn)知、理解，逐漸形成了各個(gè)學(xué)科。

數(shù)學(xué)，是人類認(rèn)識(shí)和理解世

界的基本工具和方法。不能很好地理解數(shù)學(xué)的這些基本要素和基礎(chǔ)，我們就很難理解數(shù)學(xué)，就很難用數(shù)學(xué)去認(rèn)識(shí)、理解世界、生活

等等。

這段界定，可能對(duì)理解數(shù)學(xué)格外重要——因?yàn)檫@是理解數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)條件。如果不能有效理解以上這些基本界定，很難想象能理解數(shù)學(xué)。

（作者單位：公眾教育研究院）