發現“零”

對于零這個數字有兩種不同的解釋。首先，在2009或90210這類數字中，零是用來表示空置數位的符號，這是零的功能。如果沒有零這個數字，我們就無法區分這兩個數字與29和921。

當然，像古埃及或古羅馬一類不使用位值系統的文化中不存在這個問題，也就不需要對應空位的符號。人們可以很容易地區分羅馬數字MMIX（2009）和XXIX（29）。因此，零這個觀念沒有在這些社會中出現也就不足為奇了。然而，巴比倫人的確使用了一種位值數字系統，但在許多個世紀中，他們也沒有想到要用一個記號來表示空數位。表面上看，2009和29之間的含混之處似乎沒有造成他們的麻煩，或許這是因為人們通?？梢詮那昂箨P系中明顯地看出究竟應該是哪一個數字。同樣的情況即使在今天也會發生。如果有人告訴你今年是哪一年，你會覺得自己將聽到一個類似2009的數字；如果他們說的是自己的年齡，29就更合理一些了。

只是在大約公元前400年，也就是獨立存在的巴比倫行將作古的時候（此時已經是人們開始使用楔形數字系統之后大約1500年了），書吏們確實開始使用兩個垂直的楔形（∧∧）來表示一個空數位。這是歷史上第一次出現的表示零的符號，但很顯然，巴比倫人只是把它作為占據數位的符號，其本身并非數字。

零的第二個更為微妙的概念出現在印度，即把它作為實際存在的實體對待，例如等式1-1=0中所隱含的意義。這一概念于公元628年，在婆羅摩笈多所著的一本題為《經過更正的梵天的論述》的書中第一次出現。

跟許多古代數學家一樣，有關婆羅摩笈多生平的資料也甚為稀少。他于公元598年生于印度中北部，曾是烏賈因數學流派的一員。他生活的時代距笈多王朝終結后不久；該王朝大約存在于公元320年至550年，其間文化欣欣向榮，經常被人認為是印度文化的黃金時代。梵語文學的許多經典著作就是在這一時期寫就的，那時的天文學家們也開發了對日月食和行星運行規律非常準確的預測方法。

婆羅摩笈多清楚地理解了零的本質。他這樣寫道：“兩個正數的和是正數，兩個負數的和是負數：一個正數和一個負數的和是它們的差；如果這個正數與這個負數（絕對值）相等則和為零?！币虼耍闶峭ㄟ^兩個數量相等（絕對值相等）的正數與負數相加得來，例如l+（-1）。這就是現代理念1-1的意義。婆羅摩笈多還進一步寫道，任何數加零都不改變它的符號，0+0=0，任何數乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除數會有什么結果。他曾多次重復：“一個負數或正數可以被零整除，則零為其因數?！倍宜€錯誤地認為“零除以零得零”?，F代數學家會說，任何用零做除數的除法都無法定義。

值得注意的是，在婆羅摩笈多的著作中，零是與負數一起出現的。的確，想象負肘尺和負只綿羊更為困難，或許可以用這一點解釋人們對零的抗拒。在婆羅摩笈多之后的許多個世紀中，數學家們還繼續避免在他們的公式中使用負數。例如，求解二次方程與三次方程的過程就是因為數學家們避免使用負數而被弄得過分復雜了。他們理解到需要用幾種不同的方法求解，而我們今天已經把這些方法歸結為單一的公式。

現代數學對于零的重要性的強調通常毫無過分之處。數學家們把它稱為單位元素，因為把它加到任何數字上都不會改變那個數。單位元素對數學的重要性就相當于同義詞對文學的重要性。沒有誰會質疑我們為什么同時需要“幸?！迸c“高興”這兩個詞。它們能讓我們以不同的方式述說本質上相同的事情，但可能卻揭示了略為不同的細微之處。

數學家在19世紀和20世紀發現了許多正數和實數之外的有用的代數結構，發現了許多普通的加法和乘法之外的有用的運算方式。例如，計算機使用模運算，密碼學家使用橢圓曲線上的乘法運算，量子物理學家在希爾伯特空間內運算矢量加法與乘法。所有這些運算都是“加”與“乘”這兩種基本概念的變種，但它們有時跟我們在學校里學習的加法與乘法大相徑庭。它們的共同點是，大家都有一個單位元素。因此，婆羅摩笈多對數學的貢獻，即他關于數字零的想法至今還有著鮮活的生命力，盡管他可能不容易意識到這一點。