用探索式思維打造趣味數(shù)學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“新的課程理念還提倡動手實踐、自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)等新的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方式。”隨著高中數(shù)學(xué)新課程的深入實施，“自主探索”不僅作為新課程理念加以倡導(dǎo)，還作為一種重要的學(xué)習(xí)方式加以實施。本文將對數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)做一點探索。

自主探索學(xué)習(xí)的目標(biāo)定位

學(xué)習(xí)方式是指學(xué)生在完成學(xué)習(xí)任務(wù)時的行為方式和認(rèn)知取向。因此，數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)可以理解為：學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中，通過發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題等探究活動，獲得知識、提高技能、體驗過程、掌握方法、培養(yǎng)情感、改變態(tài)度、確立價值觀等的一種學(xué)習(xí)方式。

自主探索學(xué)習(xí)的認(rèn)知目標(biāo) 自主探索學(xué)習(xí)的認(rèn)知目標(biāo)是通過自主探索，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，同時掌握自主探索學(xué)習(xí)方法的有關(guān)知識。自主探索學(xué)習(xí)方法的知識有兩層含義：一是自主探索學(xué)習(xí)過程的知識，熟練掌握數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)的具體步驟，即提出問題、自主探索、交流討論、總結(jié)升華；二是自主探索學(xué)習(xí)方法的知識，包括觀察、猜想、類比、推理、分析、歸納、演繹、綜合等每種方法的適用范圍、操作步驟、注意事項。

自主探索學(xué)習(xí)的能力目標(biāo) 數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)的能力目標(biāo)主要有這三方面：一是強(qiáng)化問題意識，培養(yǎng)學(xué)生善于從生活實際和學(xué)習(xí)情境中發(fā)現(xiàn)問題的能力；二是喚醒研究意識，培養(yǎng)學(xué)生在自主探索過程中獨立思考問題和解決問題的能力；三是增強(qiáng)創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生在開放問題探索中的創(chuàng)新思維能力。

自主探索學(xué)習(xí)的價值觀目標(biāo) 數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度和價值觀目標(biāo)主要有：學(xué)生在自主探索過程中求知欲、快樂感等得到極大的滿足，這將使學(xué)生增加探索興趣，形成穩(wěn)定的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，增加對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感，端正學(xué)習(xí)態(tài)度；通過對數(shù)學(xué)知識的探索學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的過程與實質(zhì)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價值，培養(yǎng)敢于批判、善于探索、追求真知的科學(xué)精神。

自主探索學(xué)習(xí)的引導(dǎo)策略

要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)自主探索學(xué)習(xí)活動就必須開放課堂，營造探索的氛圍，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，變“我怕學(xué)”為“我愛學(xué)”。其引導(dǎo)策略如下：

創(chuàng)建和諧的課堂 教師要創(chuàng)建適合探究的民主、寬松、和諧的課堂環(huán)境。在這種環(huán)境里學(xué)生才能無所顧忌、暢所欲言。為此，要努力做到這兩點：第一，贊賞每位學(xué)生。對學(xué)生的認(rèn)識（即使十分膚淺），先要盡可能從研究問題的思路、方法或態(tài)度上給予贊賞，再誘導(dǎo)思維向縱深發(fā)展。第二，做好角色扮演。教師要放下架子、敞開心扉和學(xué)生平等溝通交流，扮演好引路人、組織者和評判者等角色。

創(chuàng)建自主的課堂 數(shù)學(xué)的未知領(lǐng)域十分廣闊，僅僅探索教師給定的問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，應(yīng)該放手讓學(xué)生自主探索。解放雙手，讓學(xué)生去體驗，從中發(fā)現(xiàn)問題；解放大腦，讓學(xué)生去聯(lián)想，從而解決問題；解放時間，讓學(xué)生對討論的問題做適當(dāng)?shù)难由煨蕴剿鳎唤夥趴臻g，讓學(xué)生在知識建構(gòu)的過程中充滿探索的生命張力。

創(chuàng)建創(chuàng)新的課堂 學(xué)生作為自主探索學(xué)習(xí)的主人，要明確探索目標(biāo)、制定探索計劃、選擇探索方法、交流探索心得、獲得探索結(jié)論。在探索過程中，教師要鼓勵學(xué)生不迷信課本、不畏懼權(quán)威，大膽猜測、小心求證；學(xué)生要親力親為，不斷質(zhì)疑、展示觀點、探索發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新思維、合作交流。這樣自主探索課堂才能充滿生機(jī)與活力，學(xué)生才能領(lǐng)略探索的無限風(fēng)光，在探索過程中有所創(chuàng)新。

教學(xué)案例：一次意外的探索

題目：求數(shù)列9，99，999，9999，…的前n項和。

師：請同學(xué)們思考，這種既不是等比，也不是等差的數(shù)列如何求和？

生1：應(yīng)該先找到通項公式，從通項公式中發(fā)現(xiàn)問題，可能求解。

生2：通項公式為 an=99…9 ，如果能轉(zhuǎn)化一下，也許可以求解。

生2的話提醒了大家，學(xué)生紛紛尋找怎么轉(zhuǎn)化。一會兒，學(xué)生3站起來說，9與10接近，99與100接近，999與1000接近，如果將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列10，100，1000，…，就可以求和了，即：

師：很好，向生3表示祝賀！這類數(shù)列可能很多，請大家就生3的方法做一小結(jié)。

生4：這類既不是等比，也不是等差的數(shù)列求和問題，可以運用轉(zhuǎn)化的方法把它們轉(zhuǎn)化為等比或等差數(shù)列來求和。

問題順利解決，學(xué)生探索的結(jié)果也很好。當(dāng)課堂正準(zhǔn)備轉(zhuǎn)入下一個問題時，生5突然提出：“這個問題比較特殊，9很接近10，才能這樣求解。如果數(shù)字為3，即，求：3，33，333，3333，…的前n項和，怎么辦？”

生5的問題打破了教師原先預(yù)設(shè)的教學(xué)思路，但對于學(xué)生能提出這樣的問題，是十分值得肯定的。馬上決定將課堂開放，請同學(xué)們一起來研究這個問題。

思考一會兒后，生6要求發(fā)言：把3轉(zhuǎn)化為9就可以求解。現(xiàn)在這個數(shù)列的每一項都是先前數(shù)列的 ，因此前n項和也為其 ，所以： 對于生6的表現(xiàn)，同學(xué)們投以欽佩的目光。

師：很好！這個問題解決了，現(xiàn)在來學(xué)習(xí)下一個知識點吧。教師的話音未落，生7“嗖”地站起來，帶著不服氣的口吻說：數(shù)字3和9有倍數(shù)關(guān)系，所以能用此法求解。其他數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列怎么求和？比如：5，55，555，5555，…。課堂進(jìn)入了和諧狀態(tài)，學(xué)生進(jìn)入了探索境界，但離課前預(yù)設(shè)卻越來越遠(yuǎn)了，教師只好做學(xué)生的同行者。

受到生7的感染，全班同學(xué)躍躍欲試，討論、爭論不絕于耳，最后生8發(fā)現(xiàn)：第二個數(shù)列是通過把3轉(zhuǎn)化為9而解決的，現(xiàn)在只要把5轉(zhuǎn)化為9也可以解決。一般地，數(shù)列a，aa，aaa，aaaa，…的前n項和為：

師：非常好！生8同學(xué)肯動腦筋，徹底解決了此類數(shù)列的前n項和問題。看到同學(xué)們探索成功后的喜悅，教師由衷地感到高興。這時，生9提出：前面解決的是重復(fù)數(shù)字是一位數(shù)的情況，如果重復(fù)數(shù)字是兩位數(shù)怎么辦？如數(shù)列12，1212，121212，，12…12的前n項怎么求和？

生9的問題完全出乎意料，使教師有些措手不及，但學(xué)生的探索則進(jìn)入了創(chuàng)新的狀態(tài)。

仿照前面的方法，探索的結(jié)果是：

但是這怎么求和呢？同學(xué)們都在迷茫中沉思。生8猜測說，可能可以用錯位相消求和。生8的猜測將思維引到了一個新的方向，即：

課堂沸騰了，學(xué)生探索的欲望像打開了閘門的洪水，一發(fā)不可收拾。繼續(xù)探索，如果是三位數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列怎么辦？如求數(shù)列123，123123，123123123，…，123…123的前n項和？

在突破一個又一個難關(guān)的過程中，同學(xué)們體驗了探索的美妙，收獲了豐碩的果實。

自主探索學(xué)習(xí)實踐的反思

教學(xué)案例中的自主探索學(xué)習(xí)給課堂帶來了勃勃生機(jī)，形成了生態(tài)課堂，但冷靜思考還有值得反思之處。

備課要周密 自主探索學(xué)習(xí)課堂的教與學(xué)必須交流碰撞，碰撞就會產(chǎn)生智慧的火花，就會有新情況、新發(fā)現(xiàn)，因此備課要盡可能地周密，要預(yù)測所有可能發(fā)生的情況，這樣才能較好地對學(xué)生進(jìn)行引，才能完成教學(xué)任務(wù)。

課堂要放開 自主探索學(xué)習(xí)不能按教案機(jī)械地演繹，要根據(jù)探索進(jìn)程順應(yīng)探索軌跡，適時調(diào)節(jié)教學(xué)行為，給學(xué)生一份屬于自己的空間，去觀察、去思考、去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造。對于課前沒有預(yù)設(shè)的新問題，不能以“不屬于本節(jié)課討論問題” 忽略而過。

點撥要到位 在探索過程中，對學(xué)生點撥要恰到好處，太直白等于講解，太隱蔽沒有效果。要在問題的連接處、發(fā)散處、空白處、模糊處、創(chuàng)新處進(jìn)行點撥，為學(xué)生修暗道，加引橋，建平臺，調(diào)動他們探索的潛能，這樣課堂就變成了學(xué)生思考、探索和創(chuàng)造的新天地。

（作者單位：福建省三明市第一中學(xué)）