水準點穩定性F檢驗法與t檢驗法異同的研究

張 勇 朱郭勤

(西南交通大學測量工程系, 四川成都 611756)

穩定的基準網是變形監測的關鍵所在,但實際上,除了設置在基巖上的標志以外,在沖積層及一些土質差的地區所設置的水準點,即使被埋設的很深,也不能認為它們一定是穩定的。國內外還有很多的膨脹土地區,在這些地區設置的水準點,也難以保持穩定不動；還有變形區域很大或變形影響范圍難以確定的情況。

在這些情況下,不能無根據地以某一點作為起算點,而應根據重復觀測的成果分析水準點的穩定性,從中找出較為穩定的水準點作為計算位移值的依據。通常情況下不同檢驗法得出的結論不一定是完全相同的,例如F檢驗法和t檢驗法得出的結果就可能不同。

1 數學模型

1.1 秩虧自由網平差模型

在控制網按間接平差中,通常有足夠的起算數據,待定參數是點的坐標,他們是非隨機參數,平差的數據模型是

L=BX+Δ

(1)

模型(1)的系數B陣為滿秩時,則為經典的間接平差,如果出現系數陣B秩虧,那么就是相應的秩虧自由網平差。

秩虧自由網平差的函數模型為

L=BX+ΔR(B)=r

(2)

B的列虧數d=t-r,隨即模型為

(3)

模型(2)的誤差方程為

(4)

(5)

(5)式中N=BTPB,N+為N的偽逆,P為觀測值權陣。

1.2 F檢驗法的一般步驟

(1)兩周期觀測同一性的檢驗(第一步)

由每一期秩虧自由網平差的改正數可以計算該期的單位權方差

(6)

假設兩周期單位權方差無顯著差異(即等精度觀測),將數值較大者作為分子,計算統計量

？≤F(α,f1,f2)

(7)

式中α為顯著水平(一般取0.05),f1,f2為第一和第二自由度,F分位值可以查表或通過函數計算得到。如果上式成立,則接受原假設,認為兩周期觀測無顯著差異；否則認為兩周期觀測不是等精度觀測(可能其中一期測量誤差過大),因而不能直接比較其坐標差異。

(2)計算兩周期觀測的綜合單位權方差(第2步)

(8)

(3)計算間隙d的單位權方差(第3步)

每期觀測分別作秩虧自由網平差求得各水準點的高程,則間隙

(9)

間隙d的協因數陣為Qd=Q1+Q2,由間隙d可按下式計算單位權方差

(10)

式中h為Qd的秩。

(4)作統計量進行整體檢驗(第4步)

(11)

如果上式成立,則認為網中水準點都是穩定的；反之,認為網中存在動點。

(5)采用“嘗試法”找出網中的動點(第5步)

將網中水準點劃分為兩組,即穩定點組F和動點組M,對間隙d及其權陣Pd作相應的分塊,即

(12)

為把分成穩定點影響和動點影響兩個統計獨立的部分,采用如下變換

(13)

1.3 t檢驗法的一般步驟

t檢驗法是用來作單點位移顯著性檢驗的一種常用的方法,它的前提是兩期的觀測精度相同,為此,需對兩期觀測數據做F檢驗。

第1,2步同F檢驗法。

第3步：

構造t檢驗量

？≤tα/2

(14)

自由度f=f1+f2,i為水準點編號

若不等式成立,則認為點位穩定,否則認為點位變化顯著。

由上面所述,F檢驗法是一種整體檢驗的方法,如果經檢驗其結果為點位變化顯著,實際上指的是平均點位,并不見得全部網點的點位變化都是顯著的。此時,欲用F檢驗法檢驗每個網點的穩定性,則要逐個剔除動點并做重復計算,而t檢驗法是一種單點檢驗的方法。

通常情況下,間隙差越大的點其為動點的可能性越大,比較不同檢驗法的優劣程度是很困難的,也不能進行直接比較,但是我們可以定義一個相對統計量來進行比較,計算檢驗法的相對統計量,其大者為最好[6]。現在根據相關模型計算,得到t檢驗法的相對統計量大于F檢驗法,說明t檢驗法剔除異常值的能力大于F檢驗法,故t檢驗法的檢查的更加嚴密,其剔除點數一般要大于等于F檢驗法。下面以一個實例來說明。

2 算例

有一水準點組,如圖1,對其進行兩期觀測,觀測數據見表1。發現其中有不穩定的水準點,現分別用F檢驗法和t檢驗法對其進行檢驗。

表1 觀測數據

圖1 水準點網

根據觀測數據,進行分期秩虧自由網平差,其結果如下：

第1期

V1=(1.63 -2.30 2.50 -1.83)Tmm

-0.13 -0.17)Tmm

Qxx1=

第2期

V2=(-0.10 0.00 0.10 -0.20

-0.10 0.00 )Tmm

Qxx2=

H2=(7.472 1 7.498 0 7.542 7 7.807 4)Tm

2.1 F檢驗法

根據(7)式

兩周期觀測無顯著差異,故進行下一步分析。

根據(9)(10)式得到

d=(0.42 0.24 0.15 -0.8)Tm

根據(8)式得到綜合單位權方差

根據(11)式得到

F(0.05,4,6)=4.53

得出存在動點。

表2 假設動點號與相關值

再根據(11)進行假設檢驗

F(α,h,f1+f2)=F(0.05,4,6)=4.53

認為通過檢驗。

故進行F檢驗法,檢驗出4號點為動點。

2.2 t檢驗法

根據(14)求出每個點的t檢驗量(如表3)。

表3 各點t檢驗量

3 結論

算例中,分別運用F檢驗法與t檢驗法對一組水準點進行檢驗,F檢驗法得出4號點為動點,將其剔除后便通過檢驗。t檢驗法得出1,4號為動點。這里兩種方法得出不同的結論,這是說明了不同的檢驗法對同一個實例可能得出不相同的結論,同樣也說明了t檢驗法剔除點數一般要大于等于F檢驗法的問題,筆者也從大量實驗數據中看出此現象。

t檢驗法雖然算法簡單而且更能夠檢測異常值,但是其有時過分的嚴格檢驗把一些沉降量稍大的也認為是動點,其檢測思想單一,這點沒有F檢驗法檢驗充分。故從得到結論的可靠性方面講,F檢驗法是最合理的,從檢測速度及盡可能多的剔除異常值方面講,t檢驗法較F檢驗法合理。

[1]張正祿，等.工程測量學[M].武漢：武漢大學出版社,2005

[2]武漢大學測繪學院測量平差學科組. 誤差理論與測量數據處理[M].武漢：武漢大學出版社,2007

[3]邱衛寧，陶本藻，姚宜斌，等.測量數據處理理論與方法[M].武漢：武漢大學出版社,2008

[4]王光偉，馬 莉.擬穩平差及假設檢驗在高層建筑物沉降觀測中的應用[J].化工施工技術,1996(6)

[5]湯均博，周 立.基于matlab的擬穩平差法在沉降觀測基準點檢驗中的應用[J].淮海工學院學報,2003(9)

[6]王文周.未知σ,t檢驗法剔除異常值最好[J].四川工業學院學報,2000(3)