分離法解題策略

分離法是常用的一種解題策略，在近幾年的高考中多次體現(xiàn)，利用分離法可以研究函數(shù)的定義域、值域；函數(shù)的圖象、性質(zhì)，尤其是函數(shù)的最值。分離法主要指：分離常數(shù)法、分離參數(shù)法、分離變量法。

一、分離常數(shù)法

主要是研究函數(shù)y= 型的有關(guān)問題時，使用此法比較好

（1）研究函數(shù)的值域。例1.求y= 的值域，分析：y= = ，所以值域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）。

（2）研究函數(shù)圖象的中心。例2.如果函數(shù)y= 的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對稱，那么（ ）

（A） m=-2，n=4 （B） m=2，n=- 4

（C）m= -2，n= - 4 （D）m=2，n=4

分析：y= = 。所以y- = ，因此y- = 的圖象關(guān)于點(diǎn)（?- ， ）對稱，由已知- =1， =2，解得m=-2，n=4，故選（A）

（3）研究函數(shù)的單調(diào)性。例3.函數(shù)y=f（x）= （x≠2）的反函數(shù)為f -1（x），求f -1（x）的單調(diào)區(qū)間，分析：由y=f（x）= （x≠2）得x= ，所以y=f（x）= （x≠2）的反函數(shù)為f -1（x）= （x≠-2），又f -1（x）= = （x≠-2），所以f -1（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），減區(qū)間為（-2，+∞）。

二、分離變量法

根據(jù)問題的要求，常常需要把變量或變量的結(jié)構(gòu)式分離出來，以便于問題的解決。（1）分離變量求最值。例4：（98年高考（22）題）。如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）。

分析：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y= ，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a，b值使y值最小，根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），得b= （0

（2）分離變量求單調(diào)區(qū)間。例5.求函數(shù)y= 的單調(diào)遞增區(qū)間.分析：y= =（x+1）+ ，令t=x+1，由于g（t）=t+ +1的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），[2，+∞]。所以y= 的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3]，[1，+∞]。

三、分離參數(shù)法

如果在一個問題中涉及到兩個以上的變量，我們把其中一個變量分離出來，有時是這個變量的表達(dá)式。

（1）分離參數(shù)求參數(shù)取值范圍。分離參數(shù)法是求參數(shù)取值范圍的一種重要方法。它的理論依據(jù)及思維程序是這樣的：若關(guān)于x的不等式f（x，）≥0，（或f（x，）≤0）（※）在區(qū)間D上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。如果能將不等式（※）化為F（）≥G（x）（或F（）≤G（x））的形式，且可求出G（x）在區(qū)間D上的最大值或最小值，那么，不等式（※）在區(qū)間D上恒成立充要條件是F（）≥G（x）max（或F（）≤G（x）min）例6（90年高考試題）.設(shè)f（x）=lg 其中a∈R，n∈N且n≥2。如果f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時有意義，求a的取值范圍。分析：f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時有意義當(dāng)x∈（-∞，1]時，1+2x+3x++（n-1）x+nxa>0當(dāng)x∈（-∞，1）時a>-[ ]。構(gòu)造函數(shù)g（x）=-[ ]，易知g（x）在（-∞，1）是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（x）在（-∞，1）上的最大值為g（1）=- 。故a>-

（2）分離參數(shù)研究方程的解問題。例7.關(guān)于x的方程 sin2x+cos2x-m-1=0在區(qū)間[0， ]上有解，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：原方程可化為sin（2x+ ）= ，由于0≤x≤ ，所以 ≤2x+ ≤ ，- ≤sin（2x+ ）≤1，所以- ≤ ≤1，解得-2≤m≤1。本題也可化為m=f（x）=2 sin（2x+ ）-1，函數(shù)的值域即為實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（3）分離參數(shù)研究不等式恒成立問題。例8.已知定義在（-∞， 3）上的單調(diào)減函數(shù)f（x）使得f（a2-sinx） ≤f（a+1+cos2x）對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：本題分離出參數(shù)a之后，即將原問題轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值問題。解：由題意，對一切實(shí)數(shù)x有

解得- ≤a≤ 。

例9.若關(guān)于x的不等式cos2x+2msinx-2m-2<0對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：本題可化歸為f（x）=（sinx-m）2-m2+2m+1的最小值問題，但是需要分三種情況進(jìn)行討論，若利用分離參數(shù)法分離出m，則問題變得易于求解。

解：由cos2x+2msinx-2m-2<0得1-sin2x+2msinx-2m-2<0，∴2m（sinx-1）<1+ sin2x ，

當(dāng)sinx=1時，有0<2，顯然成立，當(dāng)sinx≠1時，sinx-1<0，∴m> ，f（x）= = = ，- ≤-2 +1=1-