“空間向量與立體幾何”備考進行時

在江蘇新課標高考中，建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算證明線線、線面、面面的平行與垂直，以及空間角（線線角、線面角、面面角）與距離的求解問題，歷來是附加題命題的熱點，難度中等.那么立體幾何中的空間向量法主要涉及哪些問題呢？

一、利用向量證明平行與垂直

例1如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角.

（1）求證：CM∥平面PAD;

（2）求證：平面PAB⊥平面PAD.

分析：（1）建立空間直角坐標系，證明向量CM與平面PAD的法向量垂直.（2）取AP的中點E，利用向量證明BE⊥平面PAD即可.

證明：以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，

∴∠PBC=30°.

∵PC=2，∴BC=23，PB=4.

∴D（0，1，0），B（23，0，0），A（23，4，0），P（0，0，2），M（32，0，32），

∴DP=（0，-1，2），DA=（23，3，0），CM=（32，0，32），

（1）令n=（x，y，z）為平面PAD的一個法向量，則DP·n=0，

DA·n=0，

即-y+2z=0，

23x+3y=0，∴z=12y，

x=-32y，

令y=2，得n=（-3，2，1）.

∵n·CM=-3×32+2×0+1×32=0，

∴n⊥CM，

又CM平面PAD，∴CM∥平面PAD.

（2）取AP的中點E，并連接BE，則E（3，2，1），BE=（-3，2，1），

∵PB=AB，∴BE⊥PA.

又BE·DA=（-3，2，1）·（23，3，0）=0，

∴BE⊥DA，則BE⊥DA.

∵PA∩DA=A.∴BE⊥平面PAD，

又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.

評注：（1）證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數量積為零，或證明直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉化為直線與直線垂直證明.

二、利用空間向量求線線角、線面角

例2如圖，已知點P在正方體ABCDA′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP與CC′所成角的大小;

（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大小.

分析：由正方體的幾何特征，易于建立空間坐標系，關鍵在于求直線DP的一個方向向量，可延長DP交D′B′于點H，可轉化為向量DH的坐標.

解：如……