“矩陣與變換”高考復習課堂在線

一、聚焦考綱

1.了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關系.

2.了解旋轉變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示.

3.理解變換的復合與矩陣的乘法，理解二階矩陣的乘法和簡單性質.

4.理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣.

5.理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.

二、知識梳理

1.矩陣的乘法規則

（1）行矩陣[a11a12]與列矩陣b11

b21的乘法規則：[a11a12]b11

b21=a11×b11+a12×b21.

（2）二階矩陣a11a12

a21a22與列向量x0

y0的乘法規則：a11a12

a21a22x0

y0=a11×x0+a12×y0

a21×x0+a22×y0.

設A是一個二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個向量，λ、λ1、λ2是任意三個實數，則

①A（λα）=λAα;②A（α+β）=Aα+Aβ;③A（λ1α+λ2β）=λ1Aα+λ2Aβ.

（3）兩個二階矩陣相乘的結果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：

a11a12

a21a22b11b12

b21b22

=a11×b11+a12×b21a11×b12+a12×b22

a21×b11+a22×b21a21×b12+a22×b22.

性質：①一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律;②矩陣的乘法滿足結合律，即（AB）C=A（BC）;③矩陣的乘法不滿足消去律.

2.矩陣的逆矩陣

（1）逆矩陣的有關概念：對于二階矩陣A，B，若有AB=BA=E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣B是唯一的，通常記A的逆矩陣為A-1，A-1=B.

（2）逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A=ab

cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩陣為

A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

（3）逆矩陣與二元一次方程組：如果關于變量x，y的二元一次方程組ax+by=m

cx+dy=n的系數矩陣A=ab

cd可逆，

那么該方程組有唯一解x

y=ab

cd-1m

n，其中A-1=dad-bc-bad-bc

-cad-bcaad-bc.

3.二階矩陣的特征值和特征向量

（1）特征值與特征向量的概念

設A是一個二階矩陣，如果對于實數λ，存在一個非零向量α，使得Aα=λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的一個屬于特征值的一個特征向量.

（2）特征多項式與特征方程

設λ是二階矩陣A=ab

cd的一個特征值，它的一個特征向……