分段函數(shù)在微積分教學(xué)中的應(yīng)用舉例？

【摘 要】分段函數(shù)大部分不是初等函數(shù)，在分段點(diǎn)處有不同于一般初等函數(shù)的分析學(xué)討論方法，在微積分教學(xué)中，靈活運(yùn)用分段函數(shù)舉例，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

【關(guān)鍵詞】分段函數(shù)；微積分；教學(xué)；應(yīng)用舉例

在函數(shù)定義域的不同部分，因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。例如：y=|x|，y=[x]，y=sgnx等是常見的比較簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，實(shí)際生活中快遞費(fèi)用隨快遞地區(qū)及重量區(qū)間的改變而改變，個(gè)稅隨著收入的區(qū)間不同而有不同的稅率等都是常見的分段函數(shù)。

分段函數(shù)在分界點(diǎn)左右兩側(cè)有不同的定義，在微積分教學(xué)中，靈活運(yùn)用分段函數(shù)舉例，對(duì)理解單側(cè)極限，單側(cè)導(dǎo)數(shù)，連續(xù)，可導(dǎo)，原函數(shù)的存在性，可積性，偏導(dǎo)數(shù)，可微性等概念發(fā)揮著重要作用。

下面就分段函數(shù)在微積分教學(xué)中作用舉例說(shuō)明。

一、一元函數(shù)微積分學(xué)

1.分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限

從此例看出，討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)x0處的連續(xù)性，必須滿足：函數(shù)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，函數(shù)在x0點(diǎn)的左右極限均存在且相等，在x0點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，這三條中其中任何一條不滿足，則x0點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)。其中，左右極限均存在但不相等的點(diǎn)稱跳躍間斷點(diǎn)，左右極限存在且相等但不等于函數(shù)值的點(diǎn)稱可去間斷點(diǎn)，左右極限中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。

3.在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性

函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件：函數(shù)在這點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量與自變量改變量比值的極限，所以某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是否存在和函數(shù)在這點(diǎn)左右兩側(cè)的定義，函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值均有關(guān)，還取決于兩個(gè)增量比的極限。在例2中，補(bǔ)充函數(shù)在x=0的定義，令f（0）=1，則函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)。

從這兩個(gè)例題看出，二元函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)，函數(shù)在這點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可能存在，也可能不存在，這和一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在必連續(xù)不同；同樣，二元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能保證函數(shù)可微，但函數(shù)在一點(diǎn)可微，則其偏導(dǎo)必存在，但不一定連續(xù)。所以偏導(dǎo)存在是可微的必要條件，偏導(dǎo)存在且連續(xù)是可微的充分條件，二元函數(shù)的可微性，我們僅得到其必要條件和充分條件，沒有像一元函數(shù)可導(dǎo)即可微那樣的充要條件。

類似的例子還很多，不再一一列舉。從這些例子看出，在微積分教學(xué)過程中靈活運(yùn)用分段函數(shù)舉例，可增強(qiáng)同學(xué)們對(duì)概念、定理的理解，提高解決實(shí)際問題的能力，起到事半功倍的效果。

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（山東財(cái)經(jīng)大學(xué)校級(jí)教學(xué)研究和教學(xué)改革立項(xiàng)項(xiàng)目（Jy201447））