分段函數在微積分教學中的應用舉例？

【摘 要】分段函數大部分不是初等函數，在分段點處有不同于一般初等函數的分析學討論方法，在微積分教學中，靈活運用分段函數舉例，能加強學生對概念的理解，提高學生綜合運用知識的能力。

【關鍵詞】分段函數；微積分；教學；應用舉例

在函數定義域的不同部分，因變量與自變量之間的對應關系不同的函數，稱為分段函數。例如：y=|x|，y=[x]，y=sgnx等是常見的比較簡單的分段函數，實際生活中快遞費用隨快遞地區及重量區間的改變而改變，個稅隨著收入的區間不同而有不同的稅率等都是常見的分段函數。

分段函數在分界點左右兩側有不同的定義，在微積分教學中，靈活運用分段函數舉例，對理解單側極限，單側導數，連續，可導，原函數的存在性，可積性，偏導數，可微性等概念發揮著重要作用。

下面就分段函數在微積分教學中作用舉例說明。

一、一元函數微積分學

1.分段函數在分段點處的極限

從此例看出，討論分段函數在分段點x0處的連續性，必須滿足：函數在x0的某鄰域內有定義，函數在x0點的左右極限均存在且相等，在x0點的極限值等于函數值，這三條中其中任何一條不滿足，則x0點為函數的間斷點。其中，左右極限均存在但不相等的點稱跳躍間斷點，左右極限存在且相等但不等于函數值的點稱可去間斷點，左右極限中至少有一個不存在的點稱為第二類間斷點。

3.在分段點處的可導性

函數在某點可導的充要條件：函數在這點的左導數等于右導數。根據導數的定義，導數是函數改變量與自變量改變量比值的極限，所以某點的導數是否存在和函數在這點左右兩側的定義，函數在該點的函數值均有關，還取決于兩個增量比的極限。在例2中，補充函數在x=0的定義，令f（0）=1，則函數在x=0點連續。

從這兩個例題看出，二元函數在一點的連續，函數在這點的偏導數可能存在，也可能不存在，這和一元函數導數存在必連續不同；同樣，二元函數偏導存在不能保證函數可微，但函數在一點可微，則其偏導必存在，但不一定連續。所以偏導存在是可微的必要條件，偏導存在且連續是可微的充分條件，二元函數的可微性，我們僅得到其必要條件和充分條件，沒有像一元函數可導即可微那樣的充要條件。

類似的例子還很多，不再一一列舉。從這些例子看出，在微積分教學過程中靈活運用分段函數舉例，可增強同學們對概念、定理的理解，提高解決實際問題的能力，起到事半功倍的效果。

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（山東財經大學校級教學研究和教學改革立項項目（Jy201447））