淺談變式練習在高中數學教學中的運用

【摘 要】變式練習主要有一題多變、一題多解、多題一解和開放性變式等形式，它對培養興趣、提高能力、發展思維具有重要作用。設置變式練習要有針對性、階段性、多樣性和創造性。

【關鍵詞】變式練習；數學教學；運用

數學教學離不開練習，學生學習數學也離不開練習。華羅庚認為：“學習數學而不做題，好比入寶山而空返”。精辟的說明了練習的重要作用。但是，如果搞“題海戰術”，只是進行單一的、重復的機械性練習，不僅對學生知識與思維能力發展沒有好處，而且還會使學生對學習逐步喪失興趣。實踐表明變式練習能讓學生體驗到解決問題的樂趣，因而積極主動地進行分析、探索，進而加深對知識的理解，提高思維能力與解決問題能力。因此，在數學教學中如何有效的選擇練習，編制練習是每一位數學教師應該認真思考的問題。本文將結合我的教學實踐，就變式練習在數學教學中的運用談談我的粗淺認識。

1.變式練習在數學教學中的必要性

變式練習是指變換數學問題的條件或結論，改變問題的形式或內容，變換問題的解決方法，變更問題中的非本質性，使問題的本質不變的練習，它在數學教學中具有重要作用。

變式練習能夠激發學生的學習興趣。心理學告訴我們，在學習中，若只有一種分析器連續使用，容易讓學生失去注意。而運用多種分析器則可以提高大腦皮層的興奮性，使注意得以較長時間的保持。因此，運用變式練習能使學生對學習保持濃厚的興趣。

變式練習能夠提高學生的解題技能。變式練習可將一個問題進行引申和變化，有利于學生歸納解題方法，從不同角度分析解題方法，尋求解題的途徑，提高學生的解題技能。

變式練習能夠開闊學生的思維，提高探索能力。教師通過變式練習，改變問題的背景、條件、結論，讓學生去思考、討論，培養學生的探索精神。通過一題多解，從多角度分析問題，培養了學生發散思維，開闊了思路。

變式練習能夠充分發揮學生的主體地位。課堂上教師通過變式練習，與學生一起探討，學生之間通過小組也可以一起討論，真正體現了教師為主導，學生為主體的課堂教學思想。

可見，只是把某個知識點涉及的習題翻來覆去的做，也能收到效果。但是，這樣會影響學習興趣，也不利于解題能力與思維能力的培養。因此，在教學中應使用變式練習，而且多多益善。

2.變式練習的形式及其在教學中的運用

變式練習主要有以下四種形式：一道習題多種變化、一道習題多種解法、一種方法解決多個問題及開放性變式問題等。

2.1一題多變，是變式練習最常用的方法。對原問題的條件或結論進行改造，逐步引導學生向縱深伸展，從而完善學生的知識結構，擴展學生的思維能力。

2.1.1變換問題的條件

例1：（人教版高中數學選修2-1P50）一動圓M與兩圓C1：（x+3）2+y2=4和C2：（x-3）2+y2=9都外切，求動圓圓心M的軌跡方程。

此題點M的軌跡是以C1、C2為焦點實軸長為1的雙曲線的左支。學生解完該題后，我引導學生對其進行變式研究：

變式1 把都外切改為都內切。

軌跡變為以C1、C2為焦點實軸長為1的雙曲線的右支。

變式2 把都外切改為與C1外切，與C2內切。

軌跡為以C1、C2為焦點實軸長為5的雙曲線的右支。

變式3 把都外切改為一個外切，一個內切。

軌跡變為以C1、C2為焦點實軸長為5的雙曲線。

變式4 把圓C2中的9改為100，并把都外切改為都相切。

此時兩圓由相離變為內含，軌跡也由雙曲線變為橢圓。

變式5把圓C2中的9改為4。

些時兩圓的半徑相等，軌跡由雙曲線變成了一條直線。

通過對例1的研究，既充分復習了兩圓的位置關系，又深刻揭示了利用圓錐曲線定義求軌跡方程的一般方法，讓學生回味無窮。

2.1.2變換問題的結論

例2：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AC⊥BC，其中AA1=4，B1C1=4，A1C1=3，D是AB的中點。

（1）求證：AC⊥BC1；（2）求證：AC1∥平面CDB1；

這是一道簡單的立方體幾何證明問題，學生很快就解完了。在不改變題目條件的情況下，我引導學生自己提出問題并解答。學生熱烈討論，并提出了以下各種問題。

變式1 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值。

變式2 若E為A1B1的中點，求證：平面AC1E∥平面CDB1。

變式3 求證：平面ABC1⊥平面AB1C

變式4 求二面角B1-CD-B大小的余弦值。

變式5 求點B到平面CDB1的距離。

變式6 求直線AA1與平面CDB1所成角的正弦值。

變式7 線段AB上是否存在一點F，使得直線A1F⊥平面CDB1，若存在求出F的位置，若不存在說明理由。

這樣從一道題，引出一串題，能幫助學生完善知識結構，真正收到由表及里、舉一反三的效果。

2.2一題多解，是變式練習的重要手段。通過一題多解，讓學生在探索不同的解法過程中，溝通知識點之間的邏輯聯系，提高解題能力。

例3：求（x2+4x+3）4展開式中含x的項的系數。

這是上完二項式定理這一節后，給學生布置的一道習題，我要求學生用多種解法求解。

解法一：（x2+4x+3）4=[x2+（4x+3）]4

=C40x8+C41x6（4x+3）+C42x4（4x+3）2+C43x2（4x+3）3+C44（4x+3）4

上式中只有最后一項會出現含的項，易求得的項的系數為C44C43·4·33=432

解法二：（x2+4x+3）4=（x+1）4（x+3）4，則x項的系數是由（x+1）4展開式的一次項系數乘以（x+3）4展開式的常數項與（x+1）4展開式的常數項乘以（x+3）4展開式的一次項系數之和構成，即x項的系數為C43·34+C43·33=432

解法三：（x2+4x+3）4=（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）

則（x2+4x+3）4的展開式中的每一項是由上面四個因式各出一項組成，所以項的系數為從其中一個因式中的一次項系數4與其它三個因式中的常數3組成。由此x項的系數為C41·4·33=432

解法四：分析可發現（x2+4x+3）4中的x2不會對展開式中的x項系數產生影響，所以（x2+4x+3）4展開式中的x項的系數與（4x+3）4展開式中的x項的系數相同，因此只需求（4x+3）4展開式中的x項的系數，即系數為C43·4·33=432

解法五：設（x2+4x+3）4=a0+a1x+a2x2+…+a8x8

兩邊求導數得：4（x2+4x+3）3（2x+4）=a1+2a2x+…8a8x7

令x=0得4·33·4=a1，即x項的系數為4·33·4=432

以上五種解法是和學生共同探討得出的，特別是解法四和解法五，解法非常巧妙，引來學生一片驚嘆。通過不同解法的分析與比較，可幫助學生熟練掌握知識，擴寬解題思路，提高解題能力。

2.3利用多題一解，把有關聯的知識、技能有機地聯系起來，以加深學生對知識與方法的理解，培養求同存異的思維能力。

2.3.1以某種解題方法為核心設置多題一解

例4：（1）函數f（x）=x3-3x+a的圖像與x軸有三個不同的交點，求a的取值范圍。

（2）函數f（x）=x3-3x+a有三個零點，求a的取值范圍。

（3）方程x3-3x+a=0有三個不同的根，求a的取值范圍。

（4）直線y=3x-a與曲線y=x3有三個不同的交點，求a的取值范圍。

上述四道習題雖然形式有所不同，但解題方法是一樣的，都是用導數求出單調區間與極值，并結合圖像求解。讓學生在解題中感悟共性，能夠收到了良好的教學效果。

2.3.2以某個知識點為主線設置多題一解

例5：求證：（1）（人教版高中數學選修2-1P81）過拋物線y2=2px的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓必與準線相切。

（2）以拋物線y2=2px上任意一點M與焦點F連線MF為直徑的圓必與y軸相切。

（3）以橢圓上任意一點M到焦點的連線為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓相切。

（4）以雙曲線上任意一點M到相應焦點連線為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切。

這一題組，其方法均是運用梯形或三角形中位線定理及圓錐曲線定義解決。在復習了圓錐曲線定義的基礎上，進一步復習了利用定義解題的技巧。

在教學中，教師應重視對這類題目的收集與編制，引導學生尋找通解通法，感悟它們之間的內在聯系。

2.4開放性變式題的教學，擺脫了“教師示范例題，學生模仿例題”的模式，有利于培養學生的探索能力，發展創造性思維能力。

例6：（人教版高中數學選修2-1P80）已知△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡。

這是一道給定條件，探求結論的開放性練習。師生共同探討，得出頂點C的軌跡與m的范圍有關，軌跡可以是圓，可以是橢圓，也可以是雙曲線。分析完這題后，我對該題進行改編，把原題的一個條件去掉，讓學生自己添上一個條件，并根據所添加的條件，求出結論。改編如下：

已知△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0），請你添加一個恰當的條件，并求出頂點C的軌跡方程。

在這節課上，學生討論熱烈，課堂氣氛活躍，所添加的條件也豐富多彩，結論也各不相同。以下是學生添加的條件，展示其中的一部分：

（1）|AC|+|BC|=12；

（2）|AC|-|BC|=m（0

（3）AC與BC所在直線的斜率之和為1；

（4）直線AC的斜率是直線BC斜率的2倍；

（5）△ABC的周長為m（m>20）；

（6）△ABC的面積為5；

（7）頂點C到頂點A、B的距離之比為2。

這種開放性練習，讓學生直接參與到數學習題形成的過程之中，能充分調動學生主動參與的積極性。對于培養學生的應用意識和創造能力具有很好的作用。在教學中，我們可經常設計開放性問題，使學生思維活躍，思路廣闊。

3.變式練習要注意的幾個原則

變式練習要有針對性。在編制變式練習時，要充分考慮教學的目的、教學要求以及學生的實際情況。針對不同程度學生的特點，編制出圍繞教學目標的變式練習。

變式練習要有階段性。學生學習有三個階段，即初步練習階段、熟練掌握階段、靈活應用階段。教師應準確把握各個階段的特點，按照這三個階段的順序，適時、適量的進行變式練習。

變式練習要有多樣性。變式練習就是為了克服練習的形式單一而設置的，所以編制練習要注意多樣性，不斷變換問題的條件或結論，轉換問題的形式或內容。

變式練習要有創造性。變式練習的特點決定了它能激發學生學習興趣，進而產生解決數學問題迫切要求。教師應該抓住這一有利時機，在練習中適當增加創造性的因素，提高學生探索數學問題的積極性。

以上是我對數學教學中加強變式練習的認識與實踐。總之，我們在數學教學中，應充分應用變式練習，它對培養學生學習數學的興趣，激發求知欲望，開闊思路，提高解題能力都具有重要作用。

【參考文獻】

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