各類最值問題的“共性”與“個性”

摘 要

近年來，中考題中最值問題從未缺席。最值問題，既有“共性”，也有“個性”。本文結合一些典型例題，將它們轉化為相應的數學模型進行分析解決。

關鍵詞

最小值 最短路徑 最大利潤

類型一：求有共同端點的線段之和最小值或三角形周長最小值問題

例1 如圖1，直線l同側有兩點A、B，已知A、B到直線l的垂直距離分別為1和3，兩點的水平距離為3，要在直線l上找一個點P，使PA+PB的和最小。請在圖中找出點P的位置，并計算PA+PB的最小值。

例2 如圖2，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是 。

例3 如圖3，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（ ）。

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點D是BC邊上的點，CD=1，將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是 。

例1要求PA+PB的最小值，也就是求A、B兩點到同一點的和的最小值，當點P在這兩點之間，且三點共線時它們的距離之和最小，即：兩點之間線段最短。而由于A、B兩點在所要找的直線上點的同一側，因此想到作其中任一點（A）關于這條直線的對稱點（[A′] ），則l就是線段A[A′]的對稱軸，如圖1-1，根據對稱軸上任一點到線段的兩個端點距離相等，從而轉化成在直線l上找一點到[A′]（A的對稱點）與另一點B的距離之和最小值，于是自然想到連接[A′]B，[A′]B與直線l的交點就是所求的P點，再通過構造的直角三角形，利用勾股定理計算線段[A′]B即可。

例2中的正方形正好是軸對稱圖形，BD就是其一條對稱軸，因此直接找到C點關于BD的對稱點A，從而直接連接AE，如圖2-1，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可。

例3中的圓也是軸對稱圖形，直徑MN就是其一條對稱軸，因此找到B點關于MN的對稱點C，從而連接AC，如圖3-1，借助圓中同弧所對的圓周角與圓心角的關系及垂徑定理的內容，可知∠AOC=90°，巧妙構造Rt△OAC，根據題意，運用勾股定理可求出AC=[2]，所以PA+PB的最小值為[2]。

例4雖然是求三角形周長最小值，但由于其中的BE是定值，所以此題實質就是求PC+PB的最小值。而此題的翻折就有軸對稱圖形，E點就和C點關于AD對稱，因此只要求BC的值，再加上BE的值即可，如圖4-1。

因此這一類題目的“共性”就是構建“對稱模型”，實現轉化，再根據“兩點之間線段最短”求出最小值。

拓展延伸：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側面吃食的最短路徑問題。

例1 如圖5，有一個蟲子想從點A沿棱長為1cm的正方體表面爬到點B，求它爬過的最短路程。

例2 圖6是一塊長、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長方體木塊。一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是 。

例3 如圖7，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為 。

例4 如圖8，圓錐底面半徑為10cm，高為10[15]cm，若一只螞蟻從底面一點A出發繞圓錐一周回到SA上一點M處，且SM=3AM，求它所走的最短距離。

例1要求蟲子沿正方體表面爬過的最短路程，需要在從A點到B點的側面展開圖上找出，因此畫出其側面展開圖，直接利用勾股定理計算出線段AB的長度即可。也是利用兩點之間線段最短。

例2是求長方體表面的最短路程，看似和正方體差不多，但是要注意，它們雖然有“共性”，但是又有其“個性”，正方體的每個面展開都是全等的正方形，而長方體由于長、寬、高各不相同，它的每個面展開也不一樣（如圖6-1，6-2，6-3），因此要注意根據邊的長度，由勾股定理求出長度，再去判斷出最短的距離。

例3要求金屬絲的長，也需將圓柱的側面展開得到長方形（如圖7-1），找準A、C兩點，再根據勾股定理計算即可。

例4 求螞蟻沿圓錐表面爬過的最短路程，也是將其側面展開得到扇形（如圖8-1），根據題意求出AM的距離即可。

因此這一類題目的“共性”就是利用其側面展開圖，將立體圖形轉化為平面圖形，從而再根據“兩點之間線段最短”求出最小值。

類型二：二次函數中的最值問題

例1 求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2 變式：當-2≤x≤2時，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例3 變式：當1≤x≤2時，求函數y=-x2-x+1的最大值和最小值。

這一類是單純的求二次函數的最值問題，它們主要根據自變量的取值范圍不同，作出函數草圖如下，在所給自變量范圍內，觀察圖像的最高點和最低點，由此得到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變量x的值。

拓展延伸：實際問題中的二次函數最值問題

例1 某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數m=162-3x，30≤x≤54。

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

例2 已知在△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為20。

（1）寫出△ABC的面積y與BC邊的長x之間的函數表達式，并求出面積為48時BC邊的長；

（2）當BC多長時，△ABC的面積最大？最大面積是多少？

這一類題的“共性”是將實際問題轉化成數學問題——利用二次函數的知識來解決，并且此類構建最值問題，主要有兩種形式，一是商品經營活動中的求最大利潤、最大銷量等問題，解此類問題的關鍵是通過題意及現實數量關系，確定出相關函數的表達式：

y=（x-30）（162-3x）=-3x2+252x-4860，

30≤x≤54。

另一類是幾何圖形中有關面積的最值問題，解這類問題關鍵是要掌握圖形面積的求解與表示，構建相應的函數關系式：

y=[x（20-x）2]=-[12]x2+10x，

即y=-[12][（x-10）]2+50。

最后觀察其“個性”，根據函數圖像的增減性確定其最值，并注意問題的實際意義。

最值問題是初中階段的常見問題，這類試題內容豐富，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。因此我們需要根據具體問題，找到其“共性”，將其轉化為相應的數學模型，再根據“個性”解決。并且將生活中的經濟問題與數學中的最值問題聯系起來，以達到最高效率。

（作者為江蘇省徐州市第三十六中學教師）