試談數(shù)學(xué)中的特例在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

什么是數(shù)學(xué)中的特例？特例就是特殊的例子，是一般規(guī)律在某些特殊條件下的結(jié)果，如零是特殊的有理數(shù)；正方形是特殊的矩形和菱形；全等三角形是相似比為1的相似三角形；直徑是特殊的弦；30°、45°、60°的角是特殊的角；等邊三角形是特殊的三角形；勾股定理是余弦定理的特例等等。

數(shù)學(xué)中特例的地位和作用是相當(dāng)重要的，這不僅因為忽視特例會導(dǎo)致不易發(fā)覺的錯誤，而且特例常常是研究問題的起點。數(shù)學(xué)方法中的歸納法就是由特例到一般的推理，特例常常是一般結(jié)論的先導(dǎo)，一般情況是特例的發(fā)展與完善，由特例可進而研究一般規(guī)律，忽視特例往往會潛伏錯誤，注意特例才能使思考嚴謹完善，掌握了一般規(guī)律，再用以指導(dǎo)特殊問題的解決。如《周髀算經(jīng)》開宗明義第一章就記載著周公與商高的對話。他們首先提出了勾股形的問題，商高說：“故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五”。這說明，如果直角三角形的長度是3和4，那么它的斜邊必定是5；反之，如果三角形三個邊長的比為a：b：c=3：4：5，那么這個三角形必定是直角三角形，這就是勾股定理的一個特例。

那么，數(shù)學(xué)特例有什么作用呢？

一、特例用于反駁

一個數(shù)學(xué)結(jié)論的成立必須對其允許的各種情況都經(jīng)過判斷之后才能確認，好比一臺機器由許多部件組成，必須當(dāng)每個部件都運轉(zhuǎn)正常時，整個機器才能正常運轉(zhuǎn)，如若有一個部件出了問題，就不能說這臺機器完好。按照這種思想方法，要證明一個命題正確，理所當(dāng)然必須對其各種情況加以證明，而要否定一個數(shù)學(xué)命題，只要能舉出一個不能令其成立的特例（即所謂的舉反例）進行反駁即可，這就是特例反駁法，歷史上許多有名的數(shù)學(xué)難題就是用這種方法解決的。

例1：已知|m|>|n|，能夠斷定m>n嗎？

解：不能斷定，只要舉一個反例來說明，例如，當(dāng)m=-5，n=3時，|-5|>|3|，而-5<3。

例2：一學(xué)生證明一道幾何題有這樣一段：在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，因為AC=BD，所以四邊形是矩形。

顯然這個結(jié)論是靠不住的，就是說它不具有一般性，這時只要舉一反例進行反駁，就會加深理解為什么以上證明是不對的，如上圖所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，而四邊形ABCD是等腰梯形，顯然不是矩形。

例3：“如果兩個三角形的三個內(nèi)角和三條邊六個元素中有五個元素分別相等，那么這兩個三角形全等”。這種說法對嗎？

解：我們來構(gòu)造一個反例對這個命題進行反駁，如構(gòu)造⊿ABC和⊿DEF，如上圖，其中BC=DE=12，CA=EF=18，AB=8，DF=27，顯然有AB/DE=AC/DF=BC/EF=2/3，∴⊿ABC∽⊿DEF，∴

這兩個三角形滿足了五個元素分別相等的要求（注意：“分別”二字，不是“對應(yīng)”），但是它們顯然不全等。

二、特例用于解題

例4：若n是大于2的自然數(shù)，則2n-1與2n+1中（ ）

（A）至多有一個是質(zhì)數(shù)；

（B）至少有一個是質(zhì)數(shù)；

（C）至多有一個是合數(shù)；

（D）恰好有一個是合數(shù)。

解：如果用正解比較麻煩，而假如取特殊值n=6，則26=64，2n-1=63，2n+1=65，而63和65均為合數(shù)，所以排除（B）（C）（D），故選（A）。

例5：已知x-y-z=0，y-z=0，xyz≠0，

那么1998x2+1999y2-2000z2/1998x2-1999y2+2000z2=______

解：取x=2，y=z=1，則有原式1998×4-1/1998×4+1=7991/7993。

例6：已知a（x-1）（x-2）+b（x-2）（x-3）+c（x-3）（x-1）=5x2-4x+1，求a、b、c的值。

解：這是恒等式，對于x允許的值均恒等。

令x=3，得2a=34，a=17，

令x=1，得2b=2，b=1，

令x=2，得-c=13，b=-13，若將原式左邊展開，利用多項式恒等來解，顯然是相當(dāng)麻煩的。

三、特例用于驗證

一個結(jié)論的成立，應(yīng)對其允許的所有各種情況均成立，所以我們以允許的特例代入也應(yīng)該成立。如果不成立，就說明有錯誤，通過特例進行驗證，從而幫助我們發(fā)現(xiàn)錯誤。

例7：驗證習(xí)題答案的正確性，有的同學(xué)將代數(shù)式

化簡后，其答案為3/x，這個結(jié)果是否有錯誤。可根據(jù)代數(shù)式恒等變形的意義，取特殊值進行驗證，如令x=2，原式=1，而當(dāng)x=2時，3/x=3/2，顯然1≠3/2，可見原題的答案是錯誤的。

（作者單位：貴州省惠水縣第二中學(xué)）