降維法在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用初探

宋國亮 劉今子 劉日成 李文赫

摘 要：降維法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，包括降低函數(shù)的元數(shù)、函數(shù)的次數(shù)、微分方程的階數(shù)、積分的重數(shù)、行列式和矩陣的階數(shù)、線性方程組和隨機(jī)變量的元數(shù)等。其中心思想就是化繁為簡，化未知為已知，符合認(rèn)知規(guī)律。降維法在大學(xué)數(shù)學(xué)諸多課程中有著廣泛的應(yīng)用，能增強知識間的縱向和橫向聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。

關(guān)鍵詞：降維法；高等數(shù)學(xué)；線性代數(shù)

數(shù)學(xué)中的“維”指的是一個數(shù)學(xué)問題中元素的自由度，即該元素的坐標(biāo)數(shù)。“降維”則通過一些數(shù)學(xué)方法，如代入、換元、求導(dǎo)、積分等，將高維的數(shù)學(xué)問題降為低維，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡化，達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的。筆者結(jié)合多年實際教學(xué)經(jīng)驗，談一談“降維思想”在解決數(shù)學(xué)問題中的運用。

一、在高等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

1.降低微分方程的階數(shù)

在可降階的微分方程中，可以通過換元的方法，將高階的微分方程化為低階的微分方程，進(jìn)而求解。對于y（n）=f（x）型的微分方程，可以換元令z=y（n-1），原方程可化為一階微分方程，積分一次解得y（n-1），逐次換元，積分n次可得原方程的通解。對于y''=f（x，y'）型和y''=f（y，y'）型的微分方程，可令y'=P將原方程化為一階微分方程，解出y'，又得一階微分方程，解之可得原方程的通解。

2.降低積分的重數(shù)

重積分通常可以利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)進(jìn)行計算，坐標(biāo)的選擇取決于積分區(qū)域和被積函數(shù)的特征，具體計算則通過固定變量降低被積函數(shù)的元數(shù)，同時利用投影降低積分區(qū)域的維數(shù)，從而將重積分化為累次積分。二重積分可以化為兩個單次積分，即“2=1+1”。三重積分有“先二后一”“先一后二”和三次積分法，即“3=1+2”“3=2+1”和“3=1+1+1”。

3.降低函數(shù)的元數(shù)

多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，可利用代入法將所有的中間變量換成最終的自變量，降低函數(shù)的元數(shù)，然后再對最終的自變量求導(dǎo)。對于僅含等式約束的極值問題或者稱為條件極值問題，通過直接求解由等式約束所構(gòu)成的方程或方程組，把一些變量用其他變量來表示，從而消去問題中的某些變量，降低目標(biāo)函數(shù)的元數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。

4.降低函數(shù)的次數(shù)

在求某個冪級數(shù)的和函數(shù)時，如果此級數(shù)不具有和函數(shù)公式，可以先利用逐項求導(dǎo)公式先降低一般項函數(shù)的次數(shù)，然后利用已有公式求出和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，最后再積分就可以獲得所求和函數(shù)。

二、在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用

1.降低行列式的階數(shù)

利用行列式按行（列）展開法則，對行列式降階，可將計算一個n階行列式轉(zhuǎn)化為計算n個n-1階行列。當(dāng)行列式中的某行（列）具有較多的零元素時，降階法的計算量較小，如果行列式中零元素較少，可以先利用行列式的性質(zhì)將行列式的某行（列）元素化為多個零，然后再展開計算。用降階法求矩陣的特征多項式可以省去分解因式的麻煩，直接求得矩陣特征值。

2.降低矩陣的階數(shù)

在矩陣的和、差、數(shù)乘、乘法以及逆矩陣諸多運算中，可以通過分塊的方法，以子塊為元素，得到分塊矩陣，在形式上實現(xiàn)矩陣降階，利用某些子塊的特殊性可避免重復(fù)計算，減少計算量。

3.降低線性方程組的元數(shù)

利用消元法求解線性方程組主要包括兩個關(guān)鍵步驟：消元和回代。消元和回代其實都是為了降低方程組的元數(shù)，方便方程組求解。用初等行變換求解線性方程組先將增廣矩陣化為行階梯形，目的是去除多余方程，把矩陣降維得到秩，通過觀察系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩和方程組的元數(shù)三者之間的關(guān)系，判別方程組解的情況，再把行階梯形化為行最簡形，通過回代得到方程組的解。

三、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的應(yīng)用

利用全概率公式求事件發(fā)生的概率，如果諸多劃分子空間事件及其之下該事件的條件概率已知，通過劃分樣本空間，降低事件的維數(shù)，則可求出該事件發(fā)生的概率。對于兩個相互獨立的事件，積事件發(fā)生的概率可降維成兩個事件單獨發(fā)生的概率之積。兩個相互獨立的隨機(jī)變量，聯(lián)合分布函數(shù)可降維成兩個邊緣分布函數(shù)之積。對聯(lián)合概率密度積分可降維求出邊緣分布函數(shù)。

四、結(jié)語

在解題中通過對問題情境進(jìn)行適當(dāng)降維，可以轉(zhuǎn)換我們思考問題的角度，并使問題中的關(guān)系在新的維系中更加直觀、簡約。經(jīng)常進(jìn)行降維的訓(xùn)練，對于加強知識聯(lián)系、培養(yǎng)思維的靈活性有著重要作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]李瑞軍.升維法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報，2010（26）：5.

作者簡介：宋國亮（1977- ），男，黑龍江省富裕縣人，教授，研究方向：油田最優(yōu)化理論及應(yīng)用。