(2+1)維非線性薛定諤方程的怪波解

程麗　(金華職業技術學院師范學院，浙江 金華 321017)

張翼　(浙江師范大學數理信息學院，浙江 金華 321004)

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(2+1)維非線性薛定諤方程的怪波解

程麗(金華職業技術學院師范學院，浙江 金華 321017)

張翼(浙江師范大學數理信息學院，浙江 金華 321004)

[摘要]應用Hirota雙線性算子方法得到(2+1)維非線性薛定諤方程的周期解和其極限解，利用sato算子理論把(1+1)維非線性薛定諤方程的Grammian解轉化為(2+1)維非線性薛定諤方程非奇異的有理解，從而得到(2+1)維非線性薛定諤方程的一階和高階怪波解。研究結果說明了高維的非線性薛定諤方程具有有理分式的怪波解, 這些方法同樣適用于其他的高維薛定諤型方程，如Mel’nikov方程、Fokas 系統等。

[關鍵詞](2+1)維非線性薛定諤方程； Hirota雙線性方法； 周期解； 怪波解

怪波最初是描述海洋上出現的一種奇怪的水波,它以其出現的突然性和異常陡峭的高水波得名。怪波發生之前沒有任何預示, 海洋中突然出現具有很深的溝或出現一些連續的高波, 其破壞力極大, 造成很多航海災難。怪波是一種新的非線性現象，與孤立子很類似,都是一種特殊解, 不同的是它同調制不穩定性能夠很好的結合起來。近些年許多學者對怪波進行了大量的研究：Akhmediev教授小組對 (1+1)維的非線性薛定諤方程(NLS)的怪波進行了很全面的分析[1，2]，指出怪波是“Ma解”(MS)或“ Akhmediev呼吸子”(Abs)的極限情形，實際上是一種非奇異的有理解；Xu 、He 以及Wang 、Porsezian與He利用Darboux變換得到許多(1+1)維高階薛定諤型方程的怪波解[3，4]。但現有的文獻對高維薛定諤方程的怪波解研究甚少。 直到最近，Yasuhiro Ohta 教授和楊建科教授利用Hirota雙線性方法得到(2+1)維DS Ⅰ和 DS Ⅱ方程的Grammian解，再利用sato算子理論將其轉化為非奇異的有理解，從而得到高維的薛定諤型方程也具有有理分式的怪波解[5，6]。 這使得對高維的薛定諤型方程怪波解的尋求成為非常有意義的事。

考慮(2+1)維非線性薛定諤方程：

iψt=ψxy+Vψ

(1(a))

Vx=2?y|ψ|2

(1(b))

當?x=?y時,方程(1)退化為眾所周知的(1+1)維NLS方程：

iut=uxx+2|u|2u

當?t=0,方程(1)則退化為復化的Sine-Gordon方程。

文獻[7]指出該方程是具有Painlevé性質并且進行了奇異結構分析；文獻[8]利用任意函數得到單孤子解和雙孤子解；文獻[9]利用Hirota雙線性算子方法，給出了同宿軌道解及其所表示的同宿軌道。把式(1(b))兩邊關于x積分并代入式(1(a)),則得到：

(2)

方程(2)即文獻[10]所提到的(2+1)維非線性薛定諤方程。在此基礎上, 筆者對方程(1)也就是方程(2)的呼吸子即周期解以及怪波解等進行了探討。

1周期解

利用變換：

(3)

將方程(1)化為雙線性形式：

(iDt-DxDy)g·f=0

(4(a))

(4(b))

其中， Dx,Dy,Dt是Hirota算子；g*是g的共軛, α是積分常數。

以往文獻在研究方程(1)時都是令α=0，為了得到怪波解,筆者將考慮α是非零實數的情形。

為了求得雙線性方程(4)的解, 利用Hirota擾動方法, 將f與g按ε展開為冪級數：

f=1+εf(1)+ε2f(2)+…+εjf(j)+…

(5(a))

g=g(0)+εg(1)+ε2g(2)+…+εjg(j)+…

(5(b))

將式(5)代入式(4),并比較ε的同次冪系數得：

(6(a))

(6(b))

(6(c))

2g(0)g(0)*=α2

(7(a))

(7(b))

(7(c))

(8)

(9)

利用式(3),即可得到方程(1)的雙孤子解。

(10)

(11)

該解是含有空間x、y的周期函數，當參數α、γ、θ取特定值時，從圖1中可以看出解的周期性。

圖1　Akhmediev呼吸解

(12)

(13)

2怪波解

為了得到方程(1)的怪波解，在式(10)、式(11)中令θ→0，則有：

(14)

(15)

圖2　一階怪波解

文獻[11]對(1+1)維NLS方程的Grammian行列式解，利用sato算子理論轉化為非奇異的有理解，同樣得到與文獻[2]一致的一階和二階怪波解。

滿足雙線性方程：

(16)

(17)

利用引理1，通過變量代換x1=x+y,x2=-it可以得到定理1。

定理1方程(1)有非奇異的有理解：

其中：

(18)

行列式元素定義為：

該解就是利用Hirota方法所得到的怪波解，即在式(14)和式(15)中令γ=1,α2=2。

(19)

其中：

σ1=9-72(x+y)2-48(x+y)4-864t2-3840t4-1152(x+y)2t2

+it[-180-288(x+y)2+192(x+y)4+384t2+3072t4+1536(x+y)2t2]

-288(x+y)2t2+768(x+y)2t4+192(x+y)4t2

從圖3中看到，當x+y=0,t=0時,|ψ|達到最大值5。

圖3　二階怪波解

3結語

應用Hirota雙線性方法,給出(2+1)維非線性薛定諤方程(1)的呼吸子即周期解和其極限情形的解——一階怪波解，推廣了(1+1)維非線性薛定諤方程NLS的空間變量。此外，在(1+1)維NLS的Grammian行列式解的基礎上, 利用sato算子理論得到的方程(1)的一階和高階怪波解，其中該方法得到的一階怪波解包含于Hirota雙線性方法給出的怪波解中，但利用定理1易獲得高階怪波解。研究結果說明了高維的非線性薛定諤方程具有有理分式的怪波解, 這些方法同樣適用于其他的高維薛定諤型方程，如Mel’nikov方程、Fokas 系統等。

[參考文獻]

[1]Akhmediev N, Ankiewicz A，Taki M.Waves that appear from nowhere and disappear without a trace[J].Phys Lett A, 2009(373): 675～678.

[2] Akhmediev N, Ankiewicz A，Soto-Crespo J M.Rouge wave and rational solutions of the nonlinear Schr?dinger equation[J].Phys Rev E, 2009(80): 026601.

[3] Xu S W，He J S. The rogue wave and breather solution of the Gerdjikov-Ivanov equation[J].J Math Phys, 2012(53): 063507.

[4] Wang L H, Porsezian K，He J S.Breather and rogue wave solutions of a generalized nonlinear Schr?dinger equation[J].Phys Rev E, 2013(87): 053202.

[5] Ohta Y,Yang J K.Rouge waves in the Davey-Stewartson: I.Equation[J].Phys Rev E,2012 (86): 036604.

[6] Ohta Y, Yang J K.Dynamics of rouge waves in the Davey-Stewartson Ⅱ equation [J].J Phys A: Math Theor, 2013,(46): 105202.

[7] Radha R,Lakshmanan M.Singularity structure analysis and bilinear form of a (2+1)-dimensional nonlinear Schr?dinger (NLS) equation[J].lnverse Problems, 1994,10:29～33.

[8] Strachan I A B.Wave solutions of a (2+1)-dimensional generalization of the nonlinear Schr?dinger equation [J].lnverse Problems, 1992,8:21～27.

[9]沈守楓，張雋.(2+1)維非線性Schr?dinger型方程的同宿軌道[J] .應用數學和力學,2008(29): 1254～1260.

[10] Zhang H Q , Tian B, Li L L,et al.Darboux transformation and soliton solutions for the (2+1)-dimensional nonlinear Schr?dinger hierarchy with symbolic computation[J].Physica A, 2009,388: 9～20.

[11] Ohta Y,Yang J K.General high-order rouge waves and their dynamics in the nonlinear Schr?dinger equation[J].Proc R Soc A, 2011,468:1716～1740.

[編輯]洪云飛

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)07-0035-05

[中圖分類號]O175.24

[作者簡介]程麗 ( 1972- )，女，碩士， 副教授，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作；E-mail: jhchengli@126.com。

[基金項目]國家自然科學基金項目( 11371326 )。

[收稿日期]2015-11-29

[引著格式]程麗,張翼.(2+1)維非線性薛定諤方程的怪波解[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(7)：35～39.