細長軸磨削時輔助支撐對自由振動的影響

李香飛，苗德華

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津　300222）

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細長軸磨削時輔助支撐對自由振動的影響

李香飛，苗德華

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津300222）

摘要：從振動角度分析支撐架剛度對工藝系統的影響，得出細長軸磨削時的受力簡化模型。將有支撐架輔助支撐的細長軸簡化為中間彈性支撐的超靜定梁模型，以支座反力替代彈性支撐的振動系統，根據連續梁的邊界條件及彈性支撐處的約束條件，得出頻率特征方程和自振頻率，將理論推導所得結果與有限元法所得結果進行對比，并分析中間彈性支撐位置變化時，細長軸各階頻率的變化規律。

關鍵詞：細長軸；超靜定結構；彈性支撐；磨削加工

軸類零件中長徑比大于10及以上的屬于細長軸類型。細長軸常用于精密高速傳動部件，例如機床、武器裝備以及測量儀器等設備。細長軸已加工表面質量是影響這些儀設備使用性能及其自身壽命的主要因素，因此對其進行合理的磨削加工對保證加工質量十分必要。細長軸本身剛度較差，在磨削加工時易產生讓刀和振動現象。針對上述現象，國內外學者通過建立加工模型實現在線實時檢測與補償，提高磨削加工質量，這種誤差在線補償技術在行業內獲得較好的應用，但對于復雜的工藝模型，該技術還不能滿足加工要求。一些學者從磨削參數、磨削液以及安裝方式等方面提出了許多新方法，如宋燦等[1]提出以水射流輔助支撐、以射流沖擊力抵消背向力的設計思路，獲得較好的效果，但該技術還處于試驗階段，不能應用于實際生產中。一般細長軸的加工常采用跟刀架或中心架提高工藝系統的剛度，文獻[2]提出采用跟刀架來提高磨削剛度，討論了跟刀架剛度對系統振動的影響。文獻[3]在細長軸磨削工藝改進中提出了在支撐處裝加減振棒，提高工藝系統剛度，但沒有討論中心架位置對工藝系統頻率的影響。上述文獻中都提到中心架支撐托架的固有頻率會對工藝系統的振動產生一定影響，因此本文從振動角度研究分析支撐架剛度對工藝系統的影響，得出細長軸磨削時的受力簡化模型。根據連續梁的邊界條件及彈性支撐處的約束條件，得出頻率特征方程和自振頻率，同時分析中間彈性支撐位置變化時細長軸各階頻率的變化規律。

1　細長軸加工工藝系統力學模型

采用MM1336外圓磨床進行細長軸加工，為減小固定頂尖支撐力隨機變化引起的細長軸振動，采用彈性頂尖的裝夾方式，其中一端為液壓頂尖，一端為固定頂尖。由于細長軸剛性差，故采用中心架進行輔助支撐。在加工前先對細長軸進行冷校直，采用中心架放在軸中間處的支承方式，使L/d值為原來的1/2，這樣在磨削時工藝系統的剛性可增加幾倍。在放上中心架之前，須在軸中心架位置處預先磨出一段與支承爪對應的外圓面，其表面粗糙度及圓柱度誤差應在公差要求范圍內，以免影響加工精度。因此，先磨削中心架位置并留有適當的余量，以減小軸的彎曲變形引起的內應力。

磨削加工時，細長軸會受磨削力Fx、Fy和Fz作用，Fx引起的橫向振動可忽略不計。磨削力Fy和Fz引起在xOy平面和xOz平面的橫向振動響應分別以y（x，t）和z（x，t）表示，y（x，t）和z（x，t）是關于切削位置x和時間t的二元函數。對于簡支梁，其邊界條件為：y（0，t）= 0，y（L，t）= 0。中間有中心架輔助支撐的簡化模型如圖1所示。

圖1　具有輔助支撐的細長軸

將支撐簡化為彈性支撐的連續細長軸，其彈性支承的剛度為kr（r = 1，2，…，r）。用集中力代替輔助支撐的簡化模型如圖2所示[4]。

圖2　受力簡化模型

激振力為F是切削力（F為不同平面的磨削力Fy、Fz），圖2所示的超靜定細長軸的強迫振動方程為[4]：

式中：EI為抗彎剛度；ρ為材料密度；A為軸的截面積；f（x，t）為外力，包括彈性支反力和切削力，f（x，t）的表達式為：

式中：v = n·f/60為砂輪沿軸向移動的速度；δ為狄拉克函數；F0為橫向力，在xOy平面內F0= Fy，在xOz平面內F0= Fz。

狄拉克函數的特性為：

在Xr處的位移約束條件為：

采用振型分解法對微分方程求解，梁在強迫振動下的動撓度y（x，t）表示為：

式中：φi（x）為主振型函；qi（t）為廣義振型坐標，由振型正交性質，對式（4）兩邊同乘以φn（x）dx并進行積分，得到：

當i≠n時，等式右邊積分為0，于是得到第n項的振型表達式為：

對簡支梁的振動方程進行分解，將式（2）—式（4）代入式（1）得：

將式（3）代入式（1）化簡后，兩端同乘以φn（x）dx，再進行全長積分，得到第n個振型的廣義坐標運動方程為：

式中：對于等截面的簡支梁，振型函數設為三角函數：

將式（9）代入式（8）得：

令

則式（10）化簡為：

由于磨削時，先磨削彈性支撐位置，并留有較小的余量，因此初始時刻，細長軸的彎曲撓度忽略不計。在t = 0時刻，qn（0）= q′n（0）= 0。令τn= nπv/l

可得：

方程（13）的通解為：

由初始條件qn（0）= q′n（0）= 0可得：

將式（9）、式（14）和式（15）代入式（4）中，求得由移動切削力引起的xOy平面內工藝系統位移響應為：

由于xOz平面內的受力與xOy平面內相同，根據以上方法可得到xOz平面內F0引起的軸的振動響應。

2　實例分析

一中心架支撐簡圖如圖3所示。圖中兩端為簡支的兩跨連續梁，梁的橫截面尺寸為b×h = 0.2×0.3 m，單段長度為L1= L2= 3 m，材料密度為ρ=7 800 kg·m-3，彈性模量為E = 210 GPa，彈性支撐剛度為K = 5.426× 107N/m。

圖3　一中心架支撐簡圖

在沒有施加切削力時，低階頻率對系統影響最大，因此取前3階頻率。系統的頻率由式（11）計算得到，其結果與文獻[4]得到的結果進行比較，如表1所示。采用本文的公式得到的結果與有限元分析得到的結果相比，二者誤差小于1%，結果基本一致，由此驗證了本文推導過程的正確性。

表1　本文計算的前3階頻率結果與有限元法計算結果的比較

3　支撐位置對頻率的影響

現針對兩中心架支撐的工藝系統進行分析，中心架位置如圖4所示。

圖4　中心架位置簡圖

由圖4可知，X1、X2的邊界條件為：

將式（17）代入式（11）化簡得：

令

對式（19）求關于X1、X2的偏導數，獲得使βn最大值時X1、X2的取值，X1、X2的取值情況如表2所示。

由表2可知，當X1、X2對稱布置時，βn達到最大值。設ε是X1與l的比值，X1、X2呈對稱布置，由式（17）可知ε取值范圍是[0，1/2]，采用Matlab繪出1～3階頻率與中心架位置的關系曲線，如圖5所示。

表2　最大值時X1、X2的取值情況

圖5　1～3階頻率與中心架位置關系曲線圖

由表2數據可知，采用對式（19）求偏導獲取最優中心架位置的方法可行，通過數據分析得出兩中心架對稱布置時，式（19）取得最大值。由圖5(a）可知，系統第1階段頻率隨中心架位置的變動而變動，變化規律呈拋物線狀，當中心架在細長軸1/2處，系統的頻率取得最大值；由圖5（b）可知，系統第2階段頻率變化規律與圖5（a）的一致，但峰值位置發生變化，出現在細長軸1/4處；由圖5（c）可知，第3階頻率與支撐位置之間的關系呈正弦曲線，在細長軸1/6處系統頻率達到峰值，這與實際加工時支撐布置工況相符合。通過對研究所得數據進行分析，從理論上解釋了中心架對稱分布的合理性。由分析可知，在第1階頻率，兩中心架在軸的中間位置重合，此處為剛性最薄弱的環節；在第2階頻率，剛性薄弱環節在軸的1/4處與3/4處；而第3階頻率的剛性薄弱環節在軸的1/6處與5/6處。

4　結束語

本文研究了細長軸磨削時彎曲變形及振幅等對磨削的影響。基于橫向振動原理建立了細長軸磨削過程的振動模型，并從力學及數值分析方面得出輔助支撐部件剛度引起的被加工工件振動響應的關系式；通過數值計算以及仿真分析了中心架尺寸變化對工藝系統振動頻率的影響，找到了中心架布置的最佳位置；從理論角度提出可通過中心架對稱布置來提高工藝系統剛度，減小加工變形。本研究的結果為細長軸類磨削工藝制定提供了理論依據。

參考文獻：

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Effects of assistant supporting mechanism on free vibration in slender bar grinding

LI Xiang-fei，MIAO De-hua
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：Study on the influence of brace stiffness on the process system from a perspective of vibration analysis and obtains a simplified mechanical model of slender shaft grinding.The slender bar with center rests is simplified to a static indeterminate beam with flexible supports.According to the boundary conditions of continuous beam and elastic constraints，the frequency equation and the natural frequencies are obtained.The results from this theoretical research and the finite element method are compared.Furthermore，this paper obtains the patterns of each order natural frequency by analyzing the change of elastic support location.

Key words：slender bar；statically indeterminate structure；flexible support；grinding machining

作者簡介：李香飛（1986—），男，碩士研究生；苗德華（1957—），男，教授，碩士生導師，研究方向為機械設計、新材料的開發與性能等.

基金項目：天津市科技計劃項目（15ZXZNGX00220）.

收稿日期：2016-01-07

中圖分類號：TG580

文獻標識碼：A

文章編號：2095－0926（2016）01－0041－04