導(dǎo)數(shù)解題中思維障礙的突破

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導(dǎo)數(shù)解題中思維障礙的突破

◇江蘇萬軍

數(shù)學(xué)問題的解決經(jīng)常伴隨著困難、挫折和失敗．有些學(xué)生在思維受阻時冥思苦想,不肯放棄原有思路,最終一無所獲.雖然問題是固定的,但我們的思維是不斷變化的,因此在遇到此類變化時,要能夠冷靜地觀察、善于尋找特定條件的微妙變化,迅速轉(zhuǎn)換思維角度,往往可使問題不攻自破．本文以導(dǎo)數(shù)問題為例,就解題中的思維障礙突破策略,舉例分析．

(1) 若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為ax-y=0,求x0的值.

(2) 當(dāng)x>0時,求證:f(x)>x.

(3) 問集合{x∈R|f(x)-bx=0}(b∈R且為常數(shù))的元素有多少個?

1弄清曲線“在某點(diǎn)”與“過某點(diǎn)”的切線本質(zhì)

2打破常規(guī)定式,你作差來我作商

第(2)問屬于較常規(guī)的不等式證明問題,通常的解法是移項合并,構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題．

重新審視條件,當(dāng)x>0時,求證:f(x)>x,這實(shí)際是一個比較大小問題,常用的策略是移項作差與0比較,但如果兩邊均為正數(shù),除了作差以外,還可以作商與1比較．

x在(0,+∞)上變化時,g′(x),g(x)的變化情況如下表.

x(0,2)2(2,+∞)g'(x)-0+g(x)↘e2/4↗

3把握前后關(guān)聯(lián),已證結(jié)論也是條件

第(3)問求集合{x∈R|f(x)-bx=0}(b∈R且為常數(shù))的元素個數(shù)問題,即為方程f(x)-bx=0的根的個數(shù)問題,若沒有第(2)問的處理過程,此問仍然會直接對F(x)=f(x)-bx進(jìn)行求導(dǎo)、求單調(diào)區(qū)間,從而陷入解題的誤區(qū)．

當(dāng)b≤0時,集合{x∈R|f(x)-bx=0}的元素個數(shù)為0;當(dāng)0e2/4時,集合{x∈R|f(x)-bx=0}的元素個數(shù)為3.

導(dǎo)數(shù)在高考中的考查通常起到把關(guān)或壓軸的作用,備考中要重點(diǎn)把握相關(guān)的題型,靈活應(yīng)用相關(guān)的解題方法．

(作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲中學(xué))