明確復習重點探索有效途徑
——2016 年高考數學第2 輪復習建議(下)

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明確復習重點探索有效途徑
——2016 年高考數學第2 輪復習建議(下)

◇北京丁益祥(特級教師)

2.3通過揭示知識本質發展理性思維

數學學科具有概念性強、充滿思辨性的特點.求解數學問題時,若能對數學概念進行充分辨析,真正理解它的作用,往往能產生質的飛躍.

表1　單位: t

(1) 試估計廚余垃圾投放正確的概率;

(2) 試估計生活垃圾投放錯誤額概率;

從形式上看,上式表明:方差s2是3個變量a、b、c的三元二次函數,從函數角度直接求方差s2的最大值顯然是困難的.為此,我們不妨換一個角度思考問題,分析方差的本質意義和作用:方差是衡量一組隨機變量集中和離散程度的統計量.隨機變量越集中,方差越小;隨機變量越離散,方差越大,反之亦真.至此,注意到a、b、c中a>0,因此我們自然讓a=600,b=0,c=0,此時3個數據a、b、c離散程度最大,從而方差s2最大,(s2)max=80 000.

概率統計問題在高考應用問題中最為常見.然而,此題與以往常見的概率統計問題有著明顯的不同:一是數量關系以表格的形式來呈現;二是對生活垃圾投放正確或錯誤的標準沒有明確的文字說明;三是考查方差的最大值而不是考查考生熟悉的方差的最小值,并且形式上表現為三元二次函數的最大值.求解中由于對方差的意義缺乏本質的認識,因此只能從形式上把問題歸結為三元二次函數的最大值,進而導致對問題的求解束手無策.

事實上,方差是衡量一組離散型隨機變量集中和離散程度的統計量.隨機變量越集中,方差越小;隨機變量越離散,方差越大,反之亦真.這是求解第(2)問的立足點.即欲使方差最大,需且只需3個數據a、b、c最離散.而這只有建立在對概念本質深刻理解的基礎上,才能獲得上述理性的認識.第2輪復習中,若能適當地選擇一些著重考查知識本質特征的問題進行訓練,學生的理性思維水平必將得到很好的發展.

2.4通過綜合問題求解培養學科能力

高考中對知識的綜合考查,主要體現在6個解答題中,但歷年的選擇題或填空題中,也有小題綜合化的趨勢.高考中通過這些綜合問題的考查,著重檢測學生的數學能力.而第2輪復習的一個重要任務是提高學生的能力,因此,必須注意通過綜合問題求解訓練,達到提高學生能力的目的.

(1) 求橢圓C的方程;

(ⅱ)求△ABQ面積最大值.

問題(2)的第(ⅱ)問,先畫出圖形如圖4.欲求△ABQ面積最大值,原則上應求出△ABQ的面積函數,再求最大值.然而△ABQ的面積函數不易直接建立,因此應另想辦法.

圖4

為此,我們把直線y=kx+m代入橢圓E的方程得x2+4(kx+m)2=16,整理得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.

設A(x1,y1)、B(x2,y2),則

由Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-4)=16(16k2+4-m2)>0,得m2<16k2+4.所以

因為直線y=kx+m交y軸于點M(0,m),所以

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

2.5通過經典問題研習、弘揚傳統文化

我國是世界最具文明的國度之一,具有5000年的悠久歷史.在我國數學發展的耀眼星河中,不乏經典名題.恰當地精選一些歷史名題作為復習素材,可以極大地弘揚傳統文化.

圖5

A14斛;B22斛;

C36斛;D66斛

現今流傳的《九章算術》,是指三國時期劉徽為《九章算術》所作的注本,它是《算經十書》中最重要的一部可以與西方《幾何原本》相媲美的世界數學名著,距今已有2000余年的歷史.選擇此題作為高考試題,旨在體現對傳統文化的繼承和發揚.

近年來,我國正大力倡導弘揚傳統文化,從這個層面上講,上述問題既展示了數學從古到今巨大的應用價值,又體現了我國數學研究的悠久歷史和璀璨奪目的厚重文化.

(作者單位：北京陳經綸中學)