應用“力矩平衡”速找“等效最低點”

朱耀東

【摘要】 等效法是物理學中常用的一種思維方法，“輕桿連接體或帶電體在豎直面內繞固定軸轉動” 這類問題是等效法的典型應用，解題的關鍵是準確地找到等效最低點。應用初中學過的“轉動平衡”可以幫助我們快速找到等效最低點，從而使解題過程變得更加簡潔明快。

【關鍵詞】 力矩平衡 等效最低點

【中圖分類號】 G633.7 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2016）03-035-01

在高中物理學習中，“物體在豎直面內繞固定軸轉動”是一類比較重要的題型，而解決這一類題目的關鍵是準確地找到最低點或等效最低點。我們通常應用“力的合成”或者“能量守恒”來找到它們，有沒有速解辦法呢？既然物體處在最低點，其勢能必然最小，其穩度必然達到最大，物體剛好處于轉動平衡狀態，作用在物體上的合力矩必然為零，因此我們可以應用“力矩平衡” 速找“等效最低點”。

一、“力矩平衡”、 “等效最低點”及相關概念

在初中物理中，我們學過力矩、轉動平衡等概念：從轉動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂；力（F）和力臂（L）的乘積（M）叫做力矩；繞固定軸轉動的物體平衡的條件是：使物體順時針方向轉動的力矩之和等于使物體逆時針方向轉動的力矩之和。

在高中物理中，我們又學過一種重要的物理思想——等效思想：某些物理問題中，一個過程的發展、一個狀態的確定，往往是由多個因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，因此我們可以將這種多因素過程合并處理成一個熟悉的、易處理的單因素過程，而對最后結果并無影響，這就是等效法，比如給多個質點找同一個重心，把重力、電場力兩“力”疊加為一個“力”——“等效重力”，都是等效法的應用。同理，我們可以把質點系或復合場中的物體自由時能處于穩定平衡狀態的位置稱為“等效最低點”； 物體圓周運動時與等效“最低點”關于圓心對稱的位置稱為“等效最高點”。

二、應用“力矩平衡”速找輕桿連接體的等效最低點

[例1]一直角輕桿兩邊等長，兩端分別固定質量為m1的小球A和質量為m2的小球B，質量關系為m2=m1，輕桿能繞水平轉軸O在豎直面內轉動。現使OB水平，如圖1所示，兩小球從靜止開始運動，經過一段時間輕桿轉過θ角。不計轉軸摩擦和空氣阻力，兩小球可視為質點，下列說法正確的是（ ）

A.θ角最大可達到150°

B.當θ=90°時，兩小球速度最大

C.當θ=30°時，兩小球速度最大

D.當θ=60°時，兩小球速度最大

常規解法：系統機械能守恒，減小的重力勢能等于增加的動能，有m2gLsinθ-m1gL（1-sinθ）=（m1+m2）v2，又m2=m1，解得v=

故當θ=60°時，速度有最大值；當θ=120°時，速度又減為零；故選D.

速解方法：因系統機械能守恒，速度最大意味著勢能最小，勢能最小意味著穩度最大，穩度最大的位置應在等效最低點，此時力矩平衡，則m1gLsinθ=m2gLcosθ， 又m2=m1，

故當θ=60°時，輕桿連接體在等效最低點，速度有最大值，而θ角最大意味著速度為0，物體恢復到靜止狀態，因系統機械能守恒，它應該關于等效最低點對稱，θ=120°時，θ角達到最大，故正確答案是D.

【點評】明顯看出，用常規方法求解，涉及到三角函數的運算，難度相當大，而速解方法就簡單多了。

三、應用“力矩平衡”速找帶電體在豎直面內轉動時的等效最低點

[例2]如圖所示，在豎直平面內存在著水平向右的勻強電場，場強E=104N·C-1，有一質量m=0.10kg，帶電荷量q=7.5×10-5C的小球，固定在一根長度L=0.40m的絕緣輕桿上，輕桿可繞固定軸O在豎直面內無摩擦轉動，現將小球拉至位置A使輕桿水平后由靜止釋放，問：小球擺到什么位置速度剛好為0？（g=10m·s-2）

常規解法：設小球擺動角度φ之后，動能再次為0，因為只有重力和電場力做功，由動能定理得，mg·l·sin -qE（l-lcos ）=0，無論φ為鈍角還是銳角，該式都成立，∴sin +0.75cos =

0.75，運用三角函數公式解得 =0或者 =1.6°.

速解方法：設輕桿擺動θ角后，到達等效最低點B，如圖4，此時轉動平衡，由平衡條件知θ只可能為銳角，且有mg·L·cosθ=qE·sinθ：，解得cotθ=0.75=，故θ=53°.

因為小球擺動中只有重力和電場力做功，能量守恒，小球到達A關于OB線的對稱點C時，等效勢能達到最大，動能再次為0，與初始位置A相比，轉動角度 =2θ=106°，如圖5.

【點評】在本題中，用常規方法求解，方程也簡單，但是運算時要涉及到更為復雜的三角函數公式，而速解方法算起來就容易得多，而且對運動過程的描述更為清晰，如分析到θ只可能為銳角等。如果本題沒有給出m、q、E的具體數值，速解方法的優勢將更加明顯。

[參考文獻]

[1] 唐紅鷹.“等效法”巧解復合場的圓周運動問題.物理教學探討：中學生版高三卷，2005年 第2期.