一次函數與方程不等式的關系分析

鄧清松

【摘要】根據當前華師大初中數學教材內容的安排，七年級學生需要了解與掌握一元一次方程與解法。在七年級下半學期，學生將對一元一次不等式相關知識的延伸學習，八年級學生要在學習一元一次函數知識的基礎上加強對函數圖像的了解與掌握。初中生對一次函數與方程不等式的學習重點放在了單獨知識點學習中，對單獨的知識點學習較為透徹，但對于一次函數與一次方程、一次不等式三者之間的關聯還知之甚少，這方面急需老師的引導。因此，教師應著重教導學生這三方面知識的連貫性，通過學生對這三者知識點的連貫理解，把握三者的相互聯系，將使他們在數學函數學習過程中更為輕松快樂。

【關鍵詞】一次函數 方程 不等式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0071-01

在數學模型中，函數有著刻畫世界變化規律的功能[1]。初中階段是學生對函數認知了解的初級階段，初中階段對函數的學習為以后能深入學習函數知識奠定了堅實的基礎。開始進入學習函數的階段，學生通常被其深奧而感到學習上的吃力，理解上也必然存在一定的困難。對此，本文根據華師大數學教學大綱的要求，對一次函數與方程、不等式的關系進行了進一步的探討。本文首先站在運動變化的角度，串聯以往不等式學習中的知識點，以函數的觀點來加強對以往學習過的方程和不等式相關內容的了解，從而建立融會貫通、相互發展的知識體系。通過在教學過程融入知識之間的聯系，統領函數相關內容，進而引導學生自主分析，最終獲得良好的學習成效。

一、一次函數和一次方程之間的關系

初中學生對一元一次方程的解答ax+b=0 （a、b為常數，b≠0）僅停在了移項這一方法，通過把未知數的系數轉化為1，進而解出方程的答案。學生在解答數學函數題時，解答方法已經是非常熟練，但是為了幫助學生進一步探究一次函數和方程的關系，以下為此教學環節。

①目標導學：（1）會求直線y=kx+b（k、b為常數，k≠0）當函數值為0時的自變量的值。（2）使用兩種方法，即直接解方程和函數圖像法來解方程2x+5=17。

②主動學習解答課本上面出示的兩個問題：（1）解方程2x+20=0。 （2）自變量x為何值時函數y=2x+20的值為0？

③分組研究以上兩個問題的關系：將學生分為每組四人的小組，進行互相討論。

④匯報展示：每組中由小組代表講出意見，最后老師引導學生就正確解題意見達成共識：在問題（1）中解方程2x+20=0，得x=-10。

解問題（2）就是要考慮函數y=2x+20的值為0的時候，所對應的自變量x為何值。在這可以通過假設解方程2x+20=0，來得出x=-10。這兩個問題實質是同一個問題。畫出函數y=2x+20的圖像之后，讓學生再次回到圖像上進行觀察，直線y=2x+20與X軸線的交點坐標為（-10，0）這就說明方程2x+20=0的解為x=-10。讓學生思考：以上兩個問題關系當中，能進一步得到解方程ax+b=0（a、b為常數，a≠0）與求自變量x為何值的時候，一次函數y=ax+b的值為0，有什么關系？

⑤歸納加強：在解答一次方程有效轉化某一次函數的值為0時，求相應自變量的值。

⑥鞏固增強：采取兩種方法來解答方程2z+5=17，例如：直接解方程法和函數圖像法，把兩組的特點進行對比。從而補充總結：直接對方程進行解答比函數要稍微簡單一點，但函數圖像能顯示出一次函數和方程之間的聯系。讓學生在學習過程中站在不同的位置去看待任何函數問題，使得新舊知識聯合比較，突出函數在生活中占據的重要位置。

二、一次函數和一次不等式之間的關系

對于一次函數和不等式關系的認識，也對其教導實行六步教學法。通過學生根據目標主動學習找出答案，進而進行相互交流。給出以下題目：用畫函數圖像法解答不等式6x+3<4x+8，兩種方法，解法①將原不等式化為3x-6<0，畫出直線y=3x-6的圖像。在圖像上便可以看出當x<2時，直線上面的點在X軸下方。因此不等式3x-6<0的解集為x<2。解法②分別畫出直線y=5x+4和y=2x+10的圖像，能看出它們的交點橫坐標為2。當x<2的時候，在同一個X，直線y=5x+4上的點在y=2x+10相應點下方，因此不等式5x+4<2x+10的解集為x<2。很多學生在解題上會存在這樣的疑問：用一次函數圖像去解答方程和不等式有點多此一舉，甚至無法接受。在這樣情況下可適當進行知識點的點撥，最后與學生的理解達成共識。在函數角度的理解層面，就是尋求一次函數y=kx+b的值大于0的自變量X的取值范圍。最后，站在函數角度上，能確定直線y=kx+b在X軸上下方全部點的橫坐標構成集合。對于認知不怎么深刻的初中學生，通過互相討論將更加豐富學生的知識。

三、一次函數與二元一次方程的關系

學生通過對一次函數和方程、不等式的學習之后，他們對這兩個知識內容有了基本的了解。在課上先讓學生自行思考后，再小組討論進行解答。通過設置問題“二元一次方程：3x+5y=8如何轉化成y的方程式？”讓學生清楚理解到點和二元一次方程的對應關系。對下一步研究二元一次方程組的解和直線焦點坐標有了很實用的基礎作用。我們從函數的角度上看待問題，能清楚看見一次函數、方程和不等式的直接聯系。站在直觀角度看待如何使用圖形來表示方程的解和不等式的解，這樣才能將學生已學過的知識進行深刻溫習，鞏固效果。

四、結語

按照華師大初中數學教材的教學大綱要求，教師需要對初中學生的一次函數與不等式的學習進行延伸，特別是對于一次函數和一次方程、一次不等式、二元一次方程的互相聯系的知識教導，不僅激發學生自主分析數學問題的能力，而且讓學生在知識聯系中實現數學問題的溫故知新，鞏固學習效果，達到數學教學目的。

參考文獻：

[1]王蘭蘭.一次函數與方程不等式的聯系[J].數理化學習（初中版），2014，11（10）：08