函數零點問題的探究

楊文慶 徐曉燕

一、探究問題的由來

1.人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學1》（必修）第三章函數的應用3.1學習了函數零點的概念：對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。這樣，函數y=f（x）的零點是方程f（x）=0的實數根，也是y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標。

能用公式法求根的方程f（x）=0的函數，我們可以求根得到函數的零點。

對于不能用公式法求根的方程f（x）=0的函數，教材是這樣解決的：先根據根的存在性定理，判斷函數y=f（x）是否有零點，再利用二分法找出零點。

根的存在性定理：一般的，如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點，即存在c∈（a，b），使得f（x）=0，這個c也就是方程y=f（x）的根。

存在問題：

（1）f（a）·f（b）<0時，函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點，有幾個需進一步加以判斷；

（2）f（a）·f（b）≥0時，函數y=f（x）在區間（a，b）上有無零點，仍需探究；

（3）函數y=f（x）在整個定義域上的零點情況及如何判斷。

2.在近幾年的高考中經常出現方程的根和函數的零點問題。因此，對函數的零點問題有必要進行全面系統的探究和歸納提升。

二、問題的探索及解決

對于不能用公式法求根的方程f（x）=0，函數y=f（x）在整個定義域上的零點情況，我們可從以下三方面進行探討：（1）是否有零點；（2）有零點時，有幾個；（3）怎么找出這些零點。

人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學2-2》（選修）第一章，我們學習了導數及其應用，對于函數y=f（x）在整個定義域上的零點問題，我們可利用導數判斷出函數的單調性，結合二分法得到圓滿解決。

下面筆者將以2014年的兩道高考題為例，擴展開來對此加以說明。

三、舉例說明

例1.[2014天津卷理科20題]設f（x）=x-aex（a∈R），x∈R。已知函數y=f（x）有兩個零點x1，x2，且x1

分析擴展：由f（x）=x-aex，可得f ′（x）=1-aex.

下面分兩種情況討論：

（1）a≤0時，f ′（x）>0在R上恒成立，可得f （x）在R上單調遞增，不合題意。

（2）a>0時，令f ′（x）>0得，x<-lna。

令f ′（x）<0得，x>-lna。

∴函數y=f（x）在（-∞，-lna）上單調遞增，（-lna，+∞）上單調遞減。

當x→+∞時，f（x）→-∞；當x→-∞時，（+x）→-∞

利用函數的單調性畫出函數上升下降的示意圖可知

（1）當f（-lna）<0時，函數y=f（x）沒有零點；

（2）當f（-lna）=0時，函數y=f（x）有一個零點-lna；

（3）當f（-lna）>0時，函數y=f（x）有兩個零點x1和x2，x1<-lna，x2>-lna。

而且由圖像知，顯然存在區間（a，b），使x1∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零點x1，同理求出零點x2。

例2.[2014北京卷文科20題]已知函數f（x）=2x3-3x。

（2）若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍；

分析擴展：設過點P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點（x0，y0），

則y0=2x30-3x0，且切線斜率為k=6x20-3，

所以切線方程為y-y0=（6x20-3）（x-x0），

因此t-y0=（6x20-3）（1-x0），

整理得4x30-6x20+t+3=0，

設g（x）=4x3-6x2+t+3，

則“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價于“g（x）有3個不同零點”。

g′（x）=12x2-12x=12x（x-1）。

令g′（x）>0得x>1或x<0，

令g′（x）<0得0

所以函數g（x）在（1，+∞），（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減。

當x→+∞時，g（x）→+∞；當x→-∞時，g（x）→-∞

利用函數的單調性畫出函數升降的示意圖可知

（1）g（0）>0g（1）>1時，函數y=g（x）有一個零點x，x<0。

而且由圖像知，顯然存在區間（a，b），使x∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零點x。

（2）g（0）<0g（1）<1時，函數y=g（x）有一個零點x，x>1。

而且由圖像知，顯然存在區間（a，b），使x∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零點x。

（3）g（0）=0時，函數y=g（x）有兩個零點，一個零點是0，另一個零點x>1，可用二分法得出零點x。

（4）g（1）=0時，函數y=g（x）有兩個零點，一個零點是1，另一個零點x<0，可用二分法得出零點x。

（5）g（0）>0g（1）<0時，函數y=g（x）有三個零點x1，x2，x3。

x1<0，01，由圖知三個零點都可用二分法得到。

由以上兩題的分析可知借助導數判斷出函數的單調性，結合極值、端點值的正負，可得到函數在整個定義域上的零點分布情況，再利用二分法可得出函數所有的零點。

參考文獻：

李志邊.函數的零點問題的探究[J].文中數學教與學，2012（3）.

編輯 杜嫣然