實變函數課程探討—Cantor集，分數維與分形

【摘要】本文主要探討實變函數課程中一類重要的集合—Cantor集，并在此基礎上引出相應分數維的概念并指出維度和測度之間的關系。另外，我們探討現代幾何的一個重要分支——分形幾何并敘述它在實際中的重要應用。

【關鍵詞】Cantor集 分數維 分形

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0130-02

眾所周知，實變函數是大學數學專業里較為難學的一門課。由于其抽象性和概念化，學生往往很難在整體上把握它。在這門課程中[1]，第一章會講集合論的基礎知識。通過掌握一一對應的概念，無窮集合有了詳細分類，即以正整數集為代表的可數集合以及以實數集為代表的不可數集合。在第一章結束時，學生已經較為熟悉可數集和不可數集的特征，并能夠正確給出無窮集合所屬的范疇。但是，第二章中Cantor集的引入使學生對無窮集合又多了幾分困擾，但是如果對Cantor集有正確的認識，那相應的對集合論的認識會有一次質的飛躍。為此，本文用比較通俗化的表達方式闡述和解釋Cantor集。

三、分形

由上述構造過程，我們發現Cantor集是通過逐步迭代得出的，而且每一步迭代過程產生的集合和原集合具有相似性，稱之為自相似性，并且隨著迭代次數的增加，集合會呈現為一種特別的結構。法國數學家Mandelbrot[3]首次研究了這類集合，并把這類不規則的圖形定義為“分形”，開創了新的數學分支，分形幾何學。分形幾何方面的一個重要例子是德國數學家科赫給出的科赫曲線或者叫雪花曲線。它的構造原理類似于Cantor集。 Cantor集和科赫曲線都是理論上的構造。事實上，這種不規則的圖形普遍存在于大自然中，被稱為大自然的幾何。在這方面，最有名的便是布列塔尼海岸線的測量[3]。測繪學家通過不同的方式（不同尺度下）測量出來的長度差別很大，特別是在尺度越來越小時，發現海岸線的長度趨向于無窮大。用分形幾何上的解釋可知，布列塔尼海岸線是維數大于1小于2的一條連通曲線。目前，分形幾何學作為一種新的研究領域，已經受到越來越多的數學家的關注。

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎（第三版），高等教育出版社，2010。

[2]林琦焜.數，十進位和Cantor集，數學傳播，24（4），1989。

[3]B.Mandelbrot， 分形對象： 形、機遇和維數，世紀圖書出版社，1999。

作者簡介：

胡玉璽，男，山東人，博士，講師，研究方向：非線性偏微分方程。