均勻桿在什么位置離開豎直墻面

姜付錦

(武漢市黃陂一中　湖北 武漢　430300)

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均勻桿在什么位置離開豎直墻面

姜付錦

(武漢市黃陂一中湖北 武漢430300)

摘 要：先以桿的質(zhì)心C為研究對(duì)象并結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與夾角θ的關(guān)系，接著用牛頓第二定律分析了勻質(zhì)桿脫離墻面的條件，最后求得勻質(zhì)桿脫離墻面的角度.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),這個(gè)角與桿的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，理論上有4個(gè)解,其中有兩個(gè)虛數(shù)解,一個(gè)解為零，還有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)兩個(gè)小球質(zhì)量相同時(shí)脫離角度為.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)械能守恒定律脫離條件

1題目

如圖1所示，小球A和B的質(zhì)量分別為m1,m2，兩球之間用一長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m均勻分布的桿連接，桿放在光滑的水平面和光滑的豎直墻壁之間.開始時(shí)桿與豎直墻面的夾角為θ0，某一時(shí)刻釋放桿，試分析當(dāng)小球A脫離墻壁時(shí)桿與墻壁的夾角.

圖1

2桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的求解

某一時(shí)刻桿與墻壁成θ角，則系統(tǒng)的質(zhì)心位置坐標(biāo)為(xC,yC)，由質(zhì)心的定義式可知

整理后得

對(duì)位置坐標(biāo)求時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)得質(zhì)心的兩個(gè)分速度大小

對(duì)位置坐標(biāo)求時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)得質(zhì)心的兩個(gè)分加速大小

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知

式中JC=aL2(a為某一定值)為系統(tǒng)相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則得

g{L[4(m2-m1)(m1+m2+m)cos2θ+

(m+2m1)2+4(m1+m2+m)a]}-1

兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(m+2m1)2+4(m1+m2+m)a]2}-1

進(jìn)一步整理得

m1)(m1+m2+m)cos2θ+8(m2-m1)(m1+m2+

m)cosθ0cosθ+(m+2m1)2+4(m1+m2+

m)a]{L[4(m2-m1)(m1+m2+m)cos2θ+

(m+2m1)2+4(m1+m2+m)a]2}-1

3系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[1]

系統(tǒng)對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直紙面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

整理后得

4小球A脫離墻面的條件

如圖2所示，系統(tǒng)所受的外力有重力、地面支持力和墻面的彈力，墻面的彈力的方向水平向右.

圖2　系統(tǒng)的受力圖

FB-(m1+m2+m)g

當(dāng)FA=0時(shí)，小球A脫離墻面，則有

代數(shù)值后整理得

{4(m2-m1)(m1+m2+m)cos3θ+

3[(m+2m1)2+4(m1+m2+m)a]cosθ-

2[(m+2m1)2+4(m1+m2+m)a]cosθ0}·sinθ=0

式中

5桿與墻壁夾角的求解

這個(gè)方程有一個(gè)特解sinθ=0，即θ=0，由題意可知這個(gè)解無(wú)意義舍去.

(2)當(dāng)m1≠m2時(shí)，cosθ在理論上有3個(gè)解，其中有兩個(gè)解是虛數(shù)，另外1個(gè)實(shí)數(shù)解，由于這個(gè)方程非常復(fù)雜，很難求出解析解，故本文給出以下數(shù)值模擬解：

設(shè)m1=2 kg,m2=4 kg,m=1 kg,初始角度為θ0，則脫離時(shí)的角度滿足

cosθ=

圖3　當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量一定時(shí)，脫離角度與初始角度的關(guān)系

由圖3可知，初始時(shí)角度的cos(θ0)越大，脫離時(shí)角度的cos(θ)越大；當(dāng)θ0=0時(shí)，cos(θ)=0.604，約為52.8°.若系統(tǒng)質(zhì)量是其他值時(shí)，則只需將以上的程序略作修改即可，限于篇幅這里不再討論.

參 考 文 獻(xiàn)

1周衍柏.理論力學(xué)教程(第2版). 北京：高等教育出版社,1985.128~131

2鄭永令,賈起民.普通物理學(xué)教程叢書 力學(xué)(第1版).上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1989.280~282

(收稿日期：2015-10-29)