例談復合場中的守恒量

涂德新

(江西師范大學附屬中學　江西 南昌　330046)

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例談復合場中的守恒量

涂德新

(江西師范大學附屬中學江西 南昌330046)

摘 要：通過對3個復合場中守恒量的尋找和處理，體現某些物理量的特點，直觀展示物理變化過程中的規律，這對我們平時分析和研究物理問題或許有一定的借鑒.

關鍵詞：微分復合場洛倫茲力守恒量

動量守恒定律、角動量定恒定律和能量守恒定律是物理學中的三大守恒定律.守恒定律不僅適用于宏觀物體的運動，也適用于微觀粒子的運動；不僅適用于低速物體的運動，也適用于高速物體的運動，也就是說在牛頓運動定律不再適用的領域它們仍然有效，這已經為近代物理學研究的大量實踐所證明.守恒定律中的守恒量是對物理現象最簡潔的表述，筆者發現在一些復合場(重力場、電場、磁場等)中，帶電粒子的運動也有一些守恒量，下面通過幾個情景的分析和處理初步研究此問題.

情景1：一電容器左右極板間電壓為u，極板間距為d，速度為零的電子(質量為m，電荷量為e)，由電容器左極板的小孔O處，在電場力的作用下加速，同時在垂直紙面向外的勻強磁場B的作用下偏轉.

問題：求電子不能到達右極板時勻強磁場B的最小值.

圖1

解析：如圖1所示，假設圖中電子的一條運動軌跡正好與右極板相切，此時所對應的勻強磁場B的值就是本題所求的最小值.

在此軌道上任取一點(x,y)，寫出y方向的動力學方程.

注意到洛倫茲力在y方向的分力是由x方向的分速度引起的，即

may=evxB

(1)

同時

(2)

(3)

由式(1)～(3)得

這就得到了一個守恒量mvy-eBx.

聯系初始點和與右極板相切的點M，寫出方程

0=mvM-eBd

(4)

利用電場力做功，得到vM滿足的關系式

(5)

由式 (4)、(5)可得

情景2：如圖2所示，半徑分別為a和b(a

圖2

問題：電子剛好到不了外筒，求此時磁感應強度B的值.

解析：對電子寫出角動量定理

(6)

在電子的軌道上任取一點，該點離柱軸的距離為r，洛倫茲力存在角向分力，這個分力是由電子的徑向速度引起的，即

Fθ=evrB

相應的力矩為

Fθr=evrBr

(7)

由式(6)、(7)得

(8)

注意到

(9)

聯立(8)、(9)可得

聯系最初的出發點與相切點M，可得

(10)

利用電場力做功，得到vM滿足的關系式

(11)

由式(10)、(11)可得

情景3：如圖3所示，帶電粒子進入介質，受到與它的速度方向相反且成正比的阻力作用，在粒子停下來時，通過的距離l=10 cm.如果在介質中有跟粒子進入速度方向相垂直的勻強磁場，而粒子仍以原來的速度進入介質，停止時與入射點相距l1=6 cm.

圖3

問題：如果磁感應強度B減弱為一半，那么該粒子應停在離入射點多遠處？

解析：設帶電粒子在介質中受到的阻力為f=-kv(k為正的常量),無磁場時，對帶電粒子寫出牛頓第二定律

(12)

注意到

(13)

由式(12)、(13)得

得到一個守恒量mv+kx.

聯系最初和最終有

mv0=kl

于是

(14)

有磁場時寫出牛頓第二定律

(15)

由式(15)寫出x,y方向的分量方程

(16)

(17)

注意到

(18)

(19)

由式(16)～(19)得

(20)

(21)

由式(20)和(21)可得守恒量

mvx+kx+qBy

以及

mvy+ky-qBx

聯系最初和最終有

mv0=kx+qBy

(22)

0=ky-qBx

(23)

由式(22)及式(23)可以解得

(24)

(25)

同時距離

(26)

由式(14)、(24)～(26)可得

(27)

同理，磁感應強度B減半時有

(28)

聯立式 (27)、(28) 可以求解得

l2=8.3 cm

可以分析到3種情況下軌跡的長度是一樣的，原因是均只有阻力做功.

小結：物理學家在研究一些待認識的問題時，常常是想方設法找到所研究的現象中是否存在某種不變量，即某些物理量是守恒的情況，并總結出動量、角動量和能量的守恒定律.

我們在研究物理情景和物理問題時，也可以發現一些守恒量，只要過程滿足一定的條件，就可以不必考慮過程中的細節，而對系統的初末狀態的某些物理量作出某種結論，這是守恒量的特點,也是它們的優點.

Talking about the Case of Conservation Quantities in the Compound Fields

Tu Dexin

(Affiliated High School of Jiangxi Normal University, Nanchang,Jiangxi330046)

Abstract:In this paper, based on the three compound field keep constant finding and treatment, reflect the characteristics of certain physical quantities, intuitive display of a physical change in the rules, which we usually analysis and research on the physics problem may have certain reference.

Key words:differential; compound field; Lorentz force; conservation quantity

(收稿日期：2015-12-02)