巧用“幾何平均值”求解 “與距離平方成反比”的力做功

程 柏

(新疆生產建設兵團第七師高級中學　新疆 伊犁　833200)

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巧用“幾何平均值”求解 “與距離平方成反比”的力做功

程 柏

(新疆生產建設兵團第七師高級中學新疆 伊犁833200)

摘 要：萬有引力與庫侖力是高一、高二學生在學習物理時所遇到的兩種大小與距離平方成反比的力，求解這種變力做功，是深刻認識這兩種場力，進一步體會保守力場勢能概念的重要過程.然而此階段的高中生并未學習到微積分這一數學工具，如果只是簡單地告知引力勢能或兩個點電荷間的電勢能的表達式，這對于學有余力的優等生在概念建構上是不利的.為避免教師“想講清楚，但講不清楚”的尷尬境地，可采用初等數學的“幾何平均值”法來求解這種變力的功.

關鍵詞：幾何平均值萬有引力庫侖力功

1萬有引力的功與引力勢能

如圖1所示，以地心為坐標原點，沿地球半徑方向建立x軸.

圖1

設地球質量為M，當質量為m的物體從距離地心r2處沿x軸移到距離地心r1處過程中，引力做的功可以這樣計算：把r1到r2的距離分成無限多個小段，取其中第n小段，從與地心距離rn+1到rn，Δrn=rn+1-rn為一小量，在該區間內引力近似為一常量，有

(Δrn)2為高階小量，微乎其微，忽略不計，上式簡化為

具有承上啟下的意義，正是可作為第n小段的幾何平均恒力來求此段“平方反比”變力的功.

這個過程萬有引力的功為

則物體從r2處移到r1處過程中，引力的總功為

-ΔEp=ΔEk=W

一般地，常把物體在無窮遠處(r2→)時的勢能看作零勢能點(Ep2=0)，則對于上式可知物體位于距地球球心O點為r(r=r1)處時的引力勢能為

為物體和地球系統共同具有.

2庫侖電場力的功與兩個點電荷系的電勢能

由于所有帶電體的電場均可以等效視為一系列點電荷電場的疊加，故研究點電荷庫侖電場力做功就具有很重要的意義.

如圖2所示，在O點固定一個電荷量為+Q的點電荷，另一個帶電量為+q的點電荷位于距離O為ra的a點，沿任意路徑運動到距離O為rb的b點，如何計算庫侖電場力的功呢？

圖2

將時間(或空間)分成無數小段, 便可“以恒代變”“以直代曲”， 然后累積取舍， 使之向真實情況無限趨近.這是物理學中常用的一種處理類似于上述復雜問題行之有效的思維方法.基于這種思維方法,我們將運動路徑分割成無數個有限小段.每一小段即可看成是恒力作用下的運動，進而求這一小段的功.

取任意小段MN，設其位移為Δli，點電荷在M點所受的電場力為Fi，電場力在這一小段位移的功為

ΔWi=FiΔlicosθi

式中θi為位移Δli與電場力Fi的夾角.

以O為圓心，ON為半徑作一圓弧，交過M的電場線于N′點，當MN′很小時，則可認為MN′=Δlicosθi.再以O為圓心，分別作OM，ON為半徑的圓弧，使它們和Ob電場線相交，可以在Ob線上得到一小線段Δri=Δr=ri+1-ri，其大小和MN′相等，在這小段Δri上做庫侖力的幾何平均值處理，有

根據點電荷電場的對稱性可知，試探電荷從M移動到N過程中電場力所做的功與試探電荷沿電場線Ob移動Δri所做的功相等.

以此類推，可把點電荷+q沿任意路徑每一小段電場力的功都等同到同一電場線Ob上各相應小段電場力的功，這樣，電荷沿任意路徑從a移動到b時，都等同于從a′移動到b所做的功.可表示為

Epa-Epb=-ΔEp=

選取無窮遠處(rb→)為零電勢能點，則電荷q距離場源電荷Q為r處的a點(ra=r)電勢能即

3教學啟示

應當重視“微元法”的顯化，高中生即將進入大學深造，抽象思維開始快速發展，面對難以解決的問題需要新的思維方法，這就要求教師抓住機會向學生顯化物理本質.繼探究重力勢能、彈簧變力功下的彈性勢能后，對于學優生來說，掌握“平方反比”變力的功，探究引力勢能和庫侖場的電勢能，對于深刻理解保守力場勢能的概念很有好處，對促進學生運用數學知識解決物理問題的能力方面大有裨益！

(收稿日期：2015-11-17)