高中物理競賽中復雜直流電路的分析方法
——以一道2015年全國物理競賽題為例

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高中物理競賽中復雜直流電路的分析方法
——以一道2015年全國物理競賽題為例

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業學校江蘇 泰州225500)

復雜直流電路屬于大學電學部分的知識，能力要求較高，在高考中不作要求，但在物理競賽中，卻是考綱規定的考試內容.歷年的許多省市乃至全國的物理競賽中，時常出現復雜直流電路的問題，學生普遍感到比較困難，不知道如何下手，甚至使問題變得更加復雜.因此，要想在競賽中快速而準確地解決此類問題，必須要求學生對復雜直流電路的相關知識有更深層次的理解和掌握.

1什么是復雜直流電路

高中階段所接觸的電路一般是由電阻組成的混聯電路，對于這種電路的計算，學生只需根據電阻串、并聯規律把電路盡量化簡，逐步求解即可.有些貌似復雜的電路在使用串、并聯公式后變為一個無分支的閉合電路，問題就可迎刃而解，我們把這種電路稱為簡單直流電路.但對于某些電路，用這種方法則無法化簡，比如圖1中的電橋電路，盡管其結構簡單，但我們卻無法指出各個電阻之間的串并聯關系.另外，如果電路中有兩個以上的含電源支路，也會出現同樣的問題.這種不能運用電阻串、并聯的計算方法將其簡化成一個單回路的電路，我們把它稱為復雜直流電路.

圖1

2解決復雜直流電路的基本依據

復雜直流電路與簡單直流電路的區別并非是電路結構的繁與簡，而是體現在處理兩種電路的方法上.分析復雜直流電路的基本依據是基爾霍夫定律，該定律包含兩個方面的內容.

(1)基爾霍夫第一定律，又稱節點電流定律(KCL).它指出：電路中任意一個節點上，在任一時刻，流入節點電流之和等于流出節點電流之和，即

∑I入=∑I出

KCL是電路中各支路在節點(或封閉面)處必須滿足的電流約束關系，與電路中各支路元件的性質無關，是電荷守恒的必然結果.

(2)基爾霍夫第二定律，又稱回路電壓定律(KVL).它指出：在一個回路中，從一點出發繞回路一周回到該點時，各段電壓降的代數和等于零，即

∑U=0

KVL是電路的各回路中必須滿足的電壓約束關系，與回路中各元件的性質無關，是能量守恒的必然結果.

基爾霍夫定律是電路的基本定律之一，不論在何種電路中，它闡明的各支路電流之間和回路電壓之間的基本關系都是普遍適用的.理論上來講，基爾霍夫定律可以解決一切電路問題，它思路簡單清晰，對于基礎好的學生來講，是完全可以做到熟練掌握和靈活應用的.但是不足之處在于，如果支路較多，所列方程的個數也會隨之增多，從而使得解題過程比較繁瑣.

3復雜直流電路的分析方法

下面以2015年第32屆全國中學生物理競賽復賽的第5題為例，通過對該題呈現出來的電路進行剖析，談談復雜直流電路的分析方法.

【題目】如圖2所示，“田”字形導線框置于光滑水平面上，其中每個小正方格每條邊的長度l和電阻R分別為0.10 m和1.0 Ω.導線框處于磁感應強度B=1.0 T的均勻磁場中，磁場方向豎直向下，邊界(如圖2中虛線所示)與de邊平行.今將導線框從磁場中勻速拉出，拉出速度的大小v=2.0 m/s，方向與de邊垂直，與ae邊平行.試求將導線框整體從磁場中拉出的過程中外力所做的功.

圖2

分析：本題是一道電磁感應和直流電路相結合的綜合題，其物理情景和物理過程并不是很復雜，考生只需根據題中所描述的物理過程，分別作出ed一條邊拉出磁場和ed,fc兩條邊都拉出磁場的過程中所對應的兩種等效電路，如圖3和圖4所示，求出兩種情況下處于磁場中的幾條邊的電流及其所受的安培力.再由平衡條件求出兩種情況下的外力，進而計算出將導體框整體拉出磁場的過程中外力所做的功.

圖3

由上可知，解決本題的關鍵步驟是正確求出上述兩種情況下各相關支路的電流大小和方向.觀察圖3和圖4可知這是兩個復雜直流電路.限于篇幅，以下僅對圖3所示的電路進行分析，圖4的求解方法相同.本題其余部分的分析過程可參閱《2015年第32屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題及解答》，在此不再重復.

圖4

3.1支路電流法

以支路電流為未知量，應用基爾霍夫定律，列出與支路電流數量相等的獨立方程式，然后聯立求解各支路電流的方法叫支路電流法.

對于圖3，按圖中所示的電流方向，根據基爾霍夫第一定律可得

由基爾霍夫第二定律，對圖3中的4個回路可列出電壓方程

式中感應電動勢為

U=Blv=0.2 V

(9)

聯立式(1)～(9)，求得

I1=I2=0.025 A

I3=I4=0.05 A

點評:應用基爾霍夫定律時，可以任意假定電流的參考方向和回路的繞行方向.當求出的電流為正時，說明實際電流方向與所設的參考方向一致；當求出的電流為負時，說明實際電流方向與所設的參考方向相反.

對于有m條支路，n個節點的電路，依據第一定律只能列n-1個獨立的電流方程，其余的m-(n-1)個方程只能根據第二定律列回路電壓方程.所謂方程“獨立”，即從數學上來講，相互獨立的方程中，任何一個方程都無法用其他幾個方程推導出來，相互獨立的n個方程可以解出n個未知數.本題中有8條支路，5個節點，只能列4個獨立的電流方程，剩下的4個方程式，則由第二定律所列的電壓方程來補足.

在列回路電壓方程時，應注意兩個問題：一是電壓符號的選取，回路電壓定律指出“各段電壓降的代數和等于零”，因此，如果遇到電勢升的情況，電壓要取負號；二是回路的選取要使得所列的電壓方程獨立.圖3中回路的個數有13個，而未知量只有8個，單純從數量上來講，僅僅依靠回路就可列出13個方程來，無需再依靠節點電流方程.但這13個電壓方程中只有4個是獨立的，有的方程可以由其他電壓方程推導出來.例如本題中式(8)若選取圖3左邊的“日”字形回路來列，則式(8)就變為

-U+2I1R-I3R+U-I4R+U+2I2R-U=0

很顯然該式可以由式(5)和(6)相加得到，用該式與式(5)、(6)、(7)聯立是無法求解的，因而它不是獨立的方程.在下面的討論中我們就會發現，用網孔列出的回路電壓方程都是獨立的.

3.2網孔電流法

網孔是指中間沒有支路穿過的回路，在圖3所示的電路中，回路有13個，而網孔只有4個.

根據電流的連續性，可以假定一個電流在指定的網孔中流動，這種電流稱為網孔電流.對于電路中每一個節點，網孔電流流入一次又流出一次，基爾霍夫第一定律自動滿足.如果以網孔電流為未知數，只需應用基爾霍夫第二定律列出各網孔的回路電壓方程，聯立解出網孔電流，各支路電流則為相關網孔電流的代數和.

圖5

設圖5中的4個網孔電流分別為I11，I22，I33和I44，方向為順時針，將其余3個節點設為m，n，p.注意到支路fn，mn，np，nc為相鄰網孔的公共支路，每條支路均有兩個網孔電流同時流過.

用基爾霍夫第二定律對4個網孔列電壓方程

整理后代入數據，很容易求得

I11=I22=0.025 A

I33=I44=0.075 A

對比圖5中的網孔電流和圖3中各支路電流的對應關系，不難發現，fam和mbc為獨立支路，每條支路只有一個網孔電流流過，故這兩個支路中的實際電流就等于網孔電流，即I1=I11=0.025 A，I2=I22=0.025 A.fn,nc為公共支路，其實際電流應為相鄰網孔電流的代數和，即

I3=I33-I11=0.05 A

I4=I44-I22=0.05 A

點評:網孔電流法和支路電流法相比，能有效減少解題時方程的個數，便于分析和求解.在列回路電壓方程和利用網孔電流表示各支路電流的過程中，一定要分清獨立支路和公共支路中的電流與網孔電流的關系，在上述解法中已經專門強調了這一點.對于電源，因所列回路電壓方程只需考慮元件上電壓的大小和方向，無論電源在哪種形式的支路中，兩端的電壓均不受網孔電流的影響.

我們還可以發現，對于一個復雜直流電路，求解電路所需的獨立方程的個數與電路的網孔數相等.換句話說，電路中有幾個網孔，我們就設幾個獨立變量.因而在本題中，即使我們用支路電流法求解，也只需設4個獨立變量，譬如I1,I2,I3,I4，由基爾霍夫第一定律用這4個變量將其余4條支路的電流表示出來，而沒有必要設出8個變量.具體到列電壓方程時，可以直接選取網孔這樣特殊的回路來列方程，且列出的方程式都是獨立的，其余回路可以用來檢驗結果的正確與否.

3.3節點電勢法

圖6所示是某電路的一部分，設a,b兩點的電勢分別為φa和φb，I的參考方向與Uab的方向一致，則順著電流的流向來看，在電阻R和電源的內阻r上都存在電勢降低，降低量為I(R+r)，而經過電源E1，電勢降低E1；經過電源E2，電勢升高E2，所以對圖6所示的電路，有

φa-IR-Ir1-E1+E2-Ir2=φb

從而

Uab=I(R+r1+r2)+E1-E2

我們稱之為一段含源電路的歐姆定律.由該定律可得

其中電源電動勢的方向和參考電壓方向一致時E取正號，反之則取負號；而電流與參考電壓方向一致時I取正號，反之則取負號.

圖6

如圖7所示，設c點接地，選取4個獨立變量φm,φn,φf和φp，則

圖7

因圖7中有5個節點m,n,p,f,c，故可列4個獨立的電流方程，分別對m,n,p和f應用基爾霍夫第一定律，有

將電流的表達式依次代入上述方程組，有

代入數據，聯立求解，可得

φm=φn=φp=0.15 Vφf=0.3 V

重新代回電流的表達式，可得

I1=I2=0.025 AI3=I4=0.05 A

點評:節點電勢法實際上是借助于一段含源電路的歐姆定律，以節點電勢作為未知量分析電路的一種方法.適用于支路數較多，而節點數較少的電路中，同樣可使方程的個數減少.解決問題的關鍵是選取哪些節點電勢為未知量.本題中有5個節點，如令其中一個接地，則獨立變量變為4個，且不影響電路中各支路電流的大小.節點電勢法在解決只有兩個節點的電路時顯得尤為簡便.

3.4對稱分析法

仔細觀察圖3中的電路，我們會發現該電路的上下兩部分是完全一樣的，即電路關于中間兩個電阻對稱，可知I1=I2，I3=I4，I6=I8，從而中間兩個電阻上的電流I5和I7必為零，故我們對圖3可做以下兩種等效處理：

第一，從電流為零的角度來看，可將中間兩個電阻等效斷開，電路如圖8所示.

圖8

第二，因兩個電阻的電流為零，則每個電阻上的電壓也為零，電阻兩端為等電勢點，故也可將中間兩個電阻等效為短路.

兩種等效方法對于I1,I2,I3,I4,I6,I8而言沒有影響.

圖8可進一步簡化為圖9所示的電路.

圖9

對于圖9，我們除了可以用上面提到的支路電流法、網孔電流法和節點電勢法輕松求解之外，還可以利用以下3種方法.

方法1：疊加定理

疊加定理是線性電路的一種重要方法，其內容是：由線性電阻和多個電源組成的線性電路中，任何一個支路中的電流(或電壓)等于各個電源單獨作用時，在此支路中所產生的電流(或電壓)的代數和.

圖10

分別作出圖9中的兩個電源單獨作用時的電路圖，如圖10(a)和(b)所示.圖10(a)中

圖10(b)中

點評:疊加定理采用的是先分后合的思想，只對線性電路成立，對非線性電路則不適用，如電路中存在二極管、三極管等非線性元件.此外，該定理只能用來進行電流、電壓的疊加，而不能進行功率的疊加，這是因為功率與電流、電壓為二次方關系，即

P=I2R=(I′+I″)2R≠I′2R+I″2R

同時在除去電源時應注意保留其內阻.

方法2：戴維南定理

戴維南定理也叫等效電壓源定理，即對外電路來說，一個含源二端線性網絡可以用一個電壓源來代替，該電壓源的電動勢E0等于二端網絡的開路電壓，其內阻R0等于含源二端網絡內所有電源電動勢為零，僅保留其內阻時，網絡兩端的等效電阻(即輸入電阻).

根據戴維南定理可以對一個含源二端網絡進行簡化，簡化的關鍵在于正確求出含源二端網絡的開路電壓和等效電阻.

下面用戴維南定理求圖9中的電流I1.

移開圖9左邊的待求支路，如圖11(a)所示，該二端網絡的開路電壓

即等效電源的電動勢為

圖11

再求二端網絡的輸入電阻Rab，這時將電源電動勢除去，如圖11(b)所示，則

畫出ab端對應的等效電壓源，并將待求支路接入，如圖11(c)所示，可求得

I3的求解過程同上，但是我們在求出I1后，不一定非要再用一次戴維南定理求I3，也可以在圖9中用求得的I1結合基爾霍夫兩個定律計算出I3的大小.

點評:在實際問題中，遇到一個復雜直流電路，如果并不需要把所有的支路電流都求出來，在這種情況下，用基爾霍夫定律來計算就很復雜，而應用戴維南定理就比較方便.

戴維南定理的兩個關鍵步驟：求開路電壓Uab和等效電阻Rab.在計算開路電壓Uab時，必須注意代替含源二端網絡的等效電壓源E0的極性應與開路電壓Uab保持一致，如果求得的Uab是負值，則電動勢E0的極性應與圖11(c)中的極性相反；求等效電阻Rab時，必須將網絡內的各個電源除去，僅保留電源內阻.

戴維南定理只適用于二端網絡以及二端網絡內部為線性電路的情形，如果二端網絡內有非線性元件(如二極管、三極管等)，或者所求部分為三端網絡(如三相負載)，則不適用，但如果所求支路中含有非線性元件，戴維南定理同樣適用.

在高中物理電學部分，戴維南定理也常被我們用來作為電路分析的一種有效方法，如求解負載的最大功率問題、測定電源的電動勢和內阻中的實驗誤差分析等.

方法3：Y-△變換

如圖12(a)和(b)所示是一個Y形電阻網絡和一個△形電阻網絡，當這兩個電阻網絡分別接到同一個電路中時，如能保持這個電路中其余各部分的電流和電壓不變，則這兩個電阻網絡對于這個電路是等效的.

圖12

Y形電路等效變換成△形電路的條件為(證明過程略)

△形電路等效變換成Y形電路的條件為

觀察圖9中的3個電阻4R,2R,4R，可以發現它們是Y接法，將其下端分別標上數字“1”、“2”、“3”，如圖13(a)所示.用Y-△等效變換法將此Y形接法變換成△形接法，如圖13(b)所示，對應的△形接法中等效電阻為R12=8R,R13=16R,R23=8R.

由圖13(b)可知，電阻R12上電壓為零，故電流也為零，可將R12等效為斷開，且對I1和I3無影響，則

圖13

點評:Y-△電路的等效變換屬于節點電路的等效，在應用中，除了正確使用電阻變換公式計算各電阻值外，還必須正確連接各對應節點.

Y-△變換所說的等效是對外部電路等效，對內部不成立.如本題中的這種變換對于外電路，即圖13(a)中虛線所圈外面的兩個電源和一根導線而言是等效的，不會改變I1,I3和I6的大小，而對虛線所圈內部的3個電阻來講是不等效的.

(收稿日期：2015-10-23)