車輪運動問題

楊 蕾　黃亦斌

(江西師范大學　江西 南昌　330022)

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車輪運動問題

楊 蕾黃亦斌

(江西師范大學江西 南昌330022)

摘 要：主要探討了汽車主動輪在運動中所受的摩擦，首先明確滾動摩擦的產(chǎn)生原理和適用范圍，縮小問題范圍，將車輪運動看做剛體運動，得出靜摩擦力的作用.最后，討論汽車在提速前進運動中，引入驅(qū)動力，解釋不做功的靜摩擦力是如何對汽車動能變化起作用，得出加速力與做功力的區(qū)別.

關(guān)鍵詞：主動輪滾動摩擦動能靜摩擦 做功

汽車前進過程是中學物理中常常討論的問題，尤其是汽車車輪所受摩擦力與其運動之間的關(guān)系，是一個具有實際意義和理論意義的問題.然而，汽車運動中究竟是滾動摩擦，還是靜摩擦起作用常常難以解釋.本文以汽車的主動輪為研究對象，先討論車輪運動中滾動摩擦的作用，明確中學階段車輪問題所研究的摩擦范圍，并對車輪的運動過程進行解釋.

1滾動摩擦

車輪滾動前進，在這個滾動運動中是否有滾動摩擦力呢？事實上，并不存在滾動摩擦力的概念.滾動摩擦力這一提法曾出現(xiàn)在50年代的教科書中，此后新改版的力學教材都將其做出改動，一律把滾動摩擦中的阻礙改為滾動摩擦力偶矩.

假設車輪和地面為系統(tǒng)內(nèi)的兩個剛體，在不受外力的情況下，輪子在地面上無滑滾動運動時，如圖1所示，車輪受到的重力G和地面對車輪的支持力N都在通過質(zhì)心的豎直直線上，這兩個力大小相等、方向相反.假設地面粗糙，沒有驅(qū)動力作用的輪子是否受摩擦力？若假設車輪受到向前的摩擦力，根據(jù)質(zhì)心運動定理，輪子將在水平方向加速運動，速度為v；此外，摩擦力矩對輪子的轉(zhuǎn)動起著阻礙作用，減弱輪子轉(zhuǎn)動的角速度ω.做無滑滾動的車輪需要滿足v=ωR,若存在上述向前的摩擦力，則破壞無滑滾動的前提條件；同理，做無滑滾動的車輪也不存在向后的摩擦力.那么，無滑滾動的車輪將在慣性的作用下一直勻速滾動下去.

圖1

然而，在實際情況中，車輪在不受外力時，會慢慢減速而停下，這是為什么呢？因為在實際情況中，車輪和地面都是會發(fā)生形變的非剛體，當兩者有形變時，會產(chǎn)生滾動摩擦力偶矩，阻礙物體的滾動.

如圖2所示，設坐標系xOy為與水平面固定相連的靜止坐標系，地面受車輪壓力而發(fā)生形變，地面部分下陷，當車輪向前滾動時，前方支持面凸起，接觸面給車輪的作用力已經(jīng)不再通過質(zhì)心，受力點由B點移動到C點,在這塊小的接觸面積上，受到的作用力為F，將作用力分解為豎直方向支持力N和水平方向的摩擦力f，車輪受到的支持力N與重力G組成了一對大小相等，方向相反，不是同一條直線上的力偶矩，這就是滾動摩擦力偶矩，滿足公式M=dN，d為滾動摩擦系數(shù)，具有長度的量綱，其數(shù)值大小主要取決于相互接觸的物體的材料性質(zhì)和表面狀況(粗糙程度、濕度等)，正是這個滾動摩擦力偶矩阻礙了輪子的轉(zhuǎn)動.

當解釋輪子在向前滾動的運動中會慢慢減速停下時，必須考慮水平方向上的摩擦力f，根據(jù)質(zhì)心運動定理，這個摩擦力f與質(zhì)心運動方向相反，對車輪的平動起到阻礙作用.

可見，在剛體滾動中，不存在滾動摩擦力偶矩.在非剛體滾動中，滾動摩擦力偶矩才起作用，該滾動摩擦力偶矩做負功，使車輪的轉(zhuǎn)動動能減小，阻礙物體的轉(zhuǎn)動，使車輪在不受外力時慢慢減速.但若有外力如發(fā)動機提供的驅(qū)動力作用，這個驅(qū)動力矩往往數(shù)值很大，滾動摩擦力偶矩相對于發(fā)動機提供的驅(qū)動車輪轉(zhuǎn)動的力矩來說很小，常常忽略.并且中學階段我們進行受力分析的多為大小不可改變的理想物體.

2解車輪運動

通過上述的分析，我們可以將車輪運動中的滾動摩擦忽略，把車輪和地面都視為理想剛體，討論在車輪不打滑的情況下(無滑動摩擦力)，解車輪的運動，分析車輪運動中各部分相對地面的運動情況，再將力與運動聯(lián)系，得出產(chǎn)生這種運動的原因.

2.1車輪運動

如圖3，在不打滑的情況下，車輪以角速度ω向前滾動.將車輪的平動看成是質(zhì)心O1的運動，設轉(zhuǎn)動一圈時間為T,轉(zhuǎn)動一圈后車輪質(zhì)心運動位移為L,則質(zhì)心O1相對地面的速度

(1)

圖3

車輪以角速度ω轉(zhuǎn)動，則車輪頂端A相對于質(zhì)心的速度

(2)

從地面坐標系xOy觀察，根據(jù)速度疊加公式，結(jié)合式(1)和式(2)，可得車輪頂端A相對地面的速度為

同理可得輪子底端B點，從地面系中觀察到的速度vB為零.這也是不打滑的真正含義，即車輪和地面之間沒有相對速度.

這里，還可以通過動能的角度進行分析，汽車車輪運動可以看做平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合.

平動動能

(3)

轉(zhuǎn)動動能

(4)

動能

Ek=E1+E2=

(5)

從式(5)中可以發(fā)現(xiàn)，車輪在地面的轉(zhuǎn)動和平動等效于一個轉(zhuǎn)動慣量J1的物體做純轉(zhuǎn)動運動，這個新的轉(zhuǎn)動慣量

根據(jù)平行軸定理J=JC+Md2，剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積.

對比平行軸定理和J1，可以發(fā)現(xiàn)，這個純轉(zhuǎn)動運動可視為質(zhì)量不變，繞坐標原點(輪子與地面的接觸點)以角速度ω轉(zhuǎn)動的輪子，轉(zhuǎn)動慣量J1滿足

J1=JC+MR2

那么，這個新的轉(zhuǎn)軸位置也是物體在平面運動過程中某一瞬間，速度為零的點，即為瞬心C.還可以根據(jù)剛體上兩點的速度用繪圖的方式確定瞬心C的位置，如圖4所示.

圖4

因此，可以想象，對于任何一輛高速行駛的汽車來說，其車輪底部邊緣對與地面的接觸點沒有任何速度和位移，如果此處有摩擦力，那么就只能是靜摩擦力.

2.2汽車加速過程的動力學分析

如圖5所示,主動輪受到豎直向下的重力G和汽車對車輪的壓力F，還受到地面對車輪垂直水平面向上的支持力N和靜摩擦力f，以及汽車內(nèi)部發(fā)動機提供使主動輪轉(zhuǎn)動的驅(qū)動力矩M.

主動輪在豎直方向上受力平衡F+G=N，車輪運動必須滿足質(zhì)心運動定理和對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理

f=ma

(6)

M-fr=Jα

(7)

圖5

由于在不打滑的情況下，質(zhì)心平動速度與車輪轉(zhuǎn)動的角速度需滿足vC=ωR，故而，質(zhì)心加速度與車輪的角加速度必須滿足aC=Rα.改變系統(tǒng)動量、提供加速度的力只能是系統(tǒng)的外力，而靜摩擦力是汽車在水平方向唯一受到的外力.雖然該靜摩擦力沒有做功(受力點沒有速度)，但為車輪向前提供了加速度，為車輪的平動提供了可能.就像立定跳遠運動中，鞋子受到地面的靜摩擦力，這個力為人的向前運動提供了加速度，卻沒有做功.

在不打滑的情況下，若主動輪在向前做勻加速運動時，其角加速度α必須保持不變，如式(7)所示，靜摩擦力產(chǎn)生阻礙車輪轉(zhuǎn)動的力矩，因此必須有其他的力矩提供給車輪，讓其保持以角加速度α加速轉(zhuǎn)動，這就是汽車的動力系統(tǒng)，提供驅(qū)動力.驅(qū)動力僅僅在車輪轉(zhuǎn)動上起作用，體現(xiàn)為力矩，提高車輪的轉(zhuǎn)動角速度.車輪做無滑滾動，角速度和質(zhì)心運動速度滿足v=ωR，驅(qū)動力矩通過增加車輪的角速度，改變汽車運動的平動速度.根據(jù)功能關(guān)系，內(nèi)力和外力做功都會改變系統(tǒng)的動能，驅(qū)動力作為汽車系統(tǒng)的內(nèi)力通過做功的方式，只是使車輪的轉(zhuǎn)速增大，配合靜摩擦力的作用去改變主動輪向前運動的動能.若只有驅(qū)動力的作用，而無靜摩擦力，此時可以想象輪子陷入泥坑的情形，輪子只能在原地加速轉(zhuǎn)動，增加轉(zhuǎn)動的動能，但汽車無法向前運動.

因此，在汽車加速的情境中，加速的力不做功(指靜摩擦力)，做功的力不加速(指內(nèi)力或驅(qū)動力).

參 考 文 獻

1汪志成. 滾動摩擦機理與滾動摩擦系數(shù).上海機械學院學報，1993(4):35～43

2梁昆淼. 力學(上冊).北京：人民教育出版社，1978.113～114

3趙加良. 車輪上的物理——靜摩擦力扮演的角色.物理通報，2013(1):34～35

(收稿日期：2015-11-13)