連接體的速度能否同時達到最大
——對一道常見題的速度圖像分析

陳顯盈　俞 美

(溫州中學　浙江 溫州　325000)

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連接體的速度能否同時達到最大
——對一道常見題的速度圖像分析

陳顯盈俞 美

(溫州中學浙江 溫州325000)

摘 要：通過理論推導與分析，討論了連接體的速度能否同時達到最大的問題.

關鍵詞：連接體速度同時最大值

有關連接體的題目是高中物理中常見的一種類型題，我們往往認為連接體中各物體的運動是同步的，如連接體中各物體的速度會同時增大或減小，速度同時達到最大值或最小值等等.那么，連接體中各物體的速度一定會同時達到最大嗎？

下面以一道常見連接體題目為例，從圖像角度分析各連接體的速度變化情況，研究其速度是否同時達到最大等問題，從而加深對該類連接體物理過程的理解.

1問題再現

【原題】如圖1所示，重物A,B,C質量相等，A和B用輕繩相連繞過光滑的小定滑輪，開始時A,B靜止，滑輪間距為0.6 m，MN水平，現將物體C輕輕掛于MN中點，則C物體下落多大高度時速度最大？整個過程物體C做什么運動？

這是一道常見的物理題目，一些文獻[1]對此題進行了解析.下面筆者從圖像角度深入分析重物A，B，C的速度變化情況，從而研究其速度是否同時達到最大等問題.

圖1

2問題解決

2.1公式推導

如圖2所示，設MN=2b，3物體的質量都為m.

圖2

當C物體下降的高度為x時，A,B上升的高度為

此時繩子與水平方向的夾角為θ,則

在運動過程中，A,B,C總機械能守恒.根據機械能守恒定律得

同時代入x=btanθ及vA=vB=vCsinθ并推導可得

得

(1)

(2)

2.2圖像繪制

由式(1)、(2)可看出A，B，C的速度隨著θ改變而改變，變化情況可以利用Mathematica軟件中的Plot函數描述的v-θ曲線來表示，描述結果如圖3所示(其中取b=0.3 m，g=9.8 m/s2).可以看出，在θ從0增大到53.13°過程中，A，B，C的速度先從零增大到一定值后再減小到零，但是3個物體的速度并不是同時達到最大值的，其中C的速度一直比A，B的速度大且先增大到最大值，在θ= 53.13°時三者速度同時減小到零.

2.3結果分析

(1)C的速度始終不小于A和B的速度

可以看出，C的速度始終不小于A,B的速度，其中C的速度最大值也比A，B的速度最大值要大，分別為vCmax=1.07 m/s和vAmax=vBmax= 0.555 m/s.

(2)C的速度與A,B的速度并不同時達到最大值

當θ=22.55°時，C的速度取到最大值vCmax=1.07m/s.當θ=37.78°時，A,B的速度取到最大值vAmax=vBmax=0.555m/s.可見，連接體中各物體的速度并不一定同時達到最大.

(3)C的速度與A,B的速度同時達到最小值零

當θ=0或53.13°時，C和A，B的速度同時取到最小值vAmin=vBmin=vCmin=0.

(4)C和A，B同時做上下往復運動

在θ= 53.13°時三者速度同時減小到零時，通過受力分析可知，C受到的拉力會大于重力，所以并不會停止在此處，而是會開始反向上升，速度先增大再減小，相當于下降的逆過程.在θ=0時，三者速度同時減小到零，即返回到了剛開始下降的狀態，此后繼續做周期性的上下往復運動.

3問題拓展

如果改變該連接體中C物體的質量，是不是一定還能保持周期性的上下往復運動呢？此時，各物體的速度會不會同時達到最大呢？

3.1公式推導

設A,B的質量為m,C的質量為mC，其他條件不變，同理可以推導得

令

則

(3)

(4)

3.2圖像繪制

圖4　k=0.5

圖5　k=2

圖6　k=3

3.3結果分析

從圖中可以看出，k越大，θ的最大值也越大，即C下降的距離也越大.在θ相同的情況下，k值越大，A,B,C的速度也越大.當k一定且k<2時，三者速度隨著θ的增大先增大后減小，在中間某一θ值可以取到最大值，C到最低處后能在拉力的作用下上升而做周期性的上下往復運動；當k≥2時，三者速度隨著θ的增大一直增大，C所受重力一直大于所受拉力，不會在拉力的作用下向上做周期性的上下往復運動，而是在重力作用下一直向下運動，A,B,C的速度會同時趨向最大值.

圖7

總之，對于該類連接體，A與B的質量相等，當C的質量小于A質量的2倍時，各物體的速度并不會同時達到各自的最大值；當C的質量不小于A質量的2倍時，各物體的速度才會同時趨向最大值.所以，在做該類連接體題目時，不能想當然地認為各物體的速度會同時達到最大值，而要根據題意具體分析.

參 考 文 獻

1葉玉琴.連接體速度最大值問題的探討.物理教學,2011(11):51

(收稿日期：2015-10-08)