關于泊肅葉定律的適用范圍和定律的修正的討論

路 陽

(北京農學院基礎教學部　北京　102206)

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關于泊肅葉定律的適用范圍和定律的修正的討論

路 陽

(北京農學院基礎教學部北京102206)

摘 要：通過對比兩種不同的泊肅葉定律的推導方法，澄清了關于泊肅葉定律眾說不一的適用范圍問題.指明將泊肅葉公式中計算流量時的壓強視為廣義壓強，則泊肅葉定律既適用于水平直圓管的流量計算，也適用于非水平直圓管的流量計算.并指出關于泊肅葉定律的修正中存在的問題.

關鍵詞：泊肅葉定律適用范圍修正

1引言

泊肅葉定律是大學物理學中流體力學部分的重點內容之一，它給出了不可壓縮的粘性流體運動時的流量計算公式，故泊肅葉定律也稱為泊肅葉公式.

關于泊肅葉定律的適用范圍大多數大學物理教材[1～6]敘述為適用于水平直圓管中不可壓縮的粘性流體的流量計算；一些文獻[7,8]中更強調該定律只適用于水平直圓管的粘性流體的流量計算；也有文獻[9,10]指出對泊肅葉公式進行修正，則可使該公式適用于水平和非水平直圓管的粘性流體的流量計算；但有的文獻[11]認為泊肅葉公式既適用于水平直圓管也適用于非水平直圓管.

對于上述資料中提到的泊肅葉定律莫衷一是的適用范圍問題，本文用該定律的不同的推導方法加以解釋，給出了泊肅葉定律的明確的適用范圍及其成立的條件.本文也對一些資料[12,13 ]中提到的泊肅葉公式的修正進行了討論，指出其中存在的問題.

2對泊肅葉定律適用范圍的討論

關于泊肅葉定律的適用范圍各種資料說法不一，這與定律的推導方法密切相關.下面本文分別采用不同的推導方法，將它們進行對比，給出明確的泊肅葉定律的適用范圍.

圖1

推導方法1：如圖1所示，在水平放置的半徑為R的直圓管中有不可壓縮的粘性流體做層流運動.在管中選取與管同軸的長度為L，半徑為r，厚度為dr的圓管狀流體元，對該流體元進行受力分析.該流體元受到來自內層與流動方向相同的內摩擦力F和來自外層與流動方向相反的內摩擦力F+dF，設流體元的流速為v，則根據牛頓粘滯定律有

(1)

(2)

上式中η為流體的粘滯系數.設流體元兩端的壓強分別為p1和p2，該壓強差對應的力為2πrdr(p1-p2).當流體元處于勻速流動狀態時(一些教材將勻速流動敘述為穩定流動)，作用在流體元上的壓強差對應的力等于摩擦力，流體元受到了平衡力的作用，即

(3)

將上式積分，得出

在r=0時，上式也成立，故c=0.則有

再同時對上式兩邊積分

得出

(4)

式(4)給出了水平直圓管中半徑為r的流層的流動速度，由此式可以得出在半徑為R，長度為L的水平直圓管中粘性流體做層流時的流量Q為

(5)

式(5)給出的流量表達式即泊肅葉公式.

式(5)是在水平管的模型下推導出來的，p1和p2表示長度為L的水平管兩端受到的流體壓強.根據該推導方法，一些教材和文獻中將泊肅葉定律的適用范圍界定為水平直圓管的粘性流體做層流時的流量計算公式.

推導方法2：圖2給出的是半徑為R的直圓管，其軸線與水平面成任意角.管中有不可壓縮的粘性流體做層流運動.在管中選取與管同軸的半徑為r，厚度為dr的單位長度的圓管狀流體元，對該流體元流動中的功能關系進行分析.

圖2

根據修正的伯努力方程[15]，流體元中單位體積的流體在始末位置處的總能量有如下關系

(6)

式(6)中角標1，2分別表示流體元的初始位置和末位置，p代表流體壓強，ρ表示流體密度，v是流動速度，h是流體元相對重力勢能零勢能面的高度，w是單位體積的流體流動中損耗的能量.當管中流體做定常流動，且圓管狀流體元各處粗細均勻，根據流體連續性原理，有v1=v2.式(6)可整理為

w=(p1-p2)+ρg(h1-h2)=

(p1+ρgh1)-(p2+ρgh2)

(7)

流體元在始末位置間損耗的總能量為

“啊，再有機會？這是訣別之語啊！瓊兒要告訴羽弟：瓊兒要與他生死與共。”最后一句是蕭瓊喊出來的。她含淚沖出了書屋。“瓊兒不可以！”蕭夫人追出書屋，可蕭瓊不顧母親阻攔去馬廄牽馬也不備鞍就馭馬沖出了蕭家大院。

E=w2πrdr

設流體元在始末位置間流過的距離為L，該流體元受到來自內層與流動方向相同的內摩擦力

和來自外層與流動方向相反的內摩擦力F+dF，則摩擦力對流體元做的總功W為

(8)

根據功能原理，流體元在流動中損耗的總能量等于其流動中受到的摩擦力做的總功.于是有

E=W

(9)

式(9)整理為

對上式兩邊積分，考慮到r=0時的條件，得到

(10)

式(10)是直圓管中半徑為r的流層的流動速度，由此式可以得出半徑為R，長度為L的直圓管中粘性流體做層流時的流量Q為

(11)

將式(7)代入式(11)，得到

(12)

將式(12)中(p+ρgh)視為廣義壓強[14]，即流體壓強與單位體積流體的重力勢能之和，用符號p′表示廣義壓強，式(12)可改寫為

(13)

由兩種推導方法的對比可以看出，只要將泊肅葉定律中的壓強項視為廣義壓強，則該定律既適用于水平狀態的直圓管的流量計算也適用于非水平狀態的直圓管的流量計算.

在泊肅葉定律的推導過程中，我們可以總結出該定律成立的條件：

(1)流體為不可壓縮的粘性流體

滿足此前提才能在推導中應用修正的伯努力方程.

(2)流體的運動形式為層流，且各流層為勻速運動

層流條件使推導時可以應用牛頓粘滯定律，各流層勻速運動滿足了流層受力平衡和粗細均勻流管中連續性原理的要求.

(3)流管為無限長直圓管

無限長假設就是管的長度遠大于管的內徑，該假設可使流量計算中忽略邊緣效應.直圓管假設保證流層形狀為圓管形.

我們在應用泊肅葉公式時，必須滿足它成立的條件.

3對泊肅葉定律修正的討論

文獻[12,13]指出在水平直圓管中推導泊肅葉公式時，是將管兩端的流體壓強之差與流動中的粘滯阻力互相抵消.他們認為此種做法忽略了流體在管中流動時的動能也是由于流體壓強差的作用才獲得的，因此克服粘滯阻力的有效流體壓強差比管兩端的流體壓強之差要小一些.修正后的水平直圓管中的泊肅葉公式為

參 考 文 獻

1梁路光，趙大源. 醫用物理學. 北京：高等教育出版社，2004.47～48

2喀蔚波. 醫用物理學(第2版). 北京：高等教育出版社，2008.51～52

3胡玉才，李玉俠. 大學物理學基本原理及生物效應. 北京：中國農業出版社，2004.29～30

4周靜嫻. 物理學. 北京：中國農業出版社，2002.10

5金仲輝，申兵輝. 大學物理簡明教程. 北京：中國農業大學出版社，2007.15～16

6金仲輝，柴麗娜. 大學基礎物理學. 北京：科學出版社，2010.57～58

7黃慰懷. 泊肅葉公式的適用條件. 中國大學教育，1992(1)

8阮萍. 對泊肅葉定律應用的討論. 華夏醫學，1999(3)：268～269

9秦任甲. 泊肅葉公式在非水平管中的形式及其在粘滯系數測定中的應用. 大學物理，1983(12)：1～3

10黃龍洙. 關于粘滯流體層流流量公式的討論. 大學物理，1990(1)：42～43

11潘百年. 物理學(供藥學專業用). 北京：中國醫藥科技出版社，2000.13～14

12楊述武. 普通物理實驗(一.力學、熱學部分)(第2版). 北京：高等教育出版社，1993.233

13巴哈提古麗·阿斯里別克，張里荃，孫迎春. 毛細管兩端壓強差對液體粘度測量的影響. 大學物理實驗，2011(6)：12～13

14周光炯，嚴宗毅，許世雄，等. 流體力學(第2版)(下冊). 北京：高等教育出版社，2000.54～55

Discussion on the Applicable Scope of Poiseuille Law and Its Modification

Lu Yang

(Basic Department of Beijing University of Agriculture, Beijing102206)

Abstract:This paper is aimed to define the applicable scope of Poiseuille law by using different derivation methods. When the pressure in Poiseuille formula is regarded as generalized pressure, Poiseuille law can be used to solve flow of viscous fluid in horizontal or non-horizontal straight round tube. The inappropriate modification of Poiseuille law is discussed in this paper.

Key words:Poiseuille law; the applicable scope; modification

(收稿日期：2015-10-13)