對稱性在電磁場方向判斷中的應用

梁 雄　賴國忠

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對稱性在電磁場方向判斷中的應用

梁 雄賴國忠

摘 要：在求解電磁場問題中，往往都需要判明總電場或磁場的方向，才好根據電場或磁場分布特點選取相應定理或定律來求解，分析常用的方法都是利用對稱位置上取電荷元和電流元，再利用電磁場的疊加原理判斷其方向.本文利用帶電體和載流導體的對稱性直接判斷電場方向，分析過程更加簡潔，不必涉及太多物理知識，這種分析方法對于初學電磁學的學生來說更加容易接受.

關鍵詞：對稱性電場方向磁場方向疊加原理高斯定理

1引言

對稱性分析在大學物理教學有著極其重要的地位[1]，有相當多的文獻從不同角度來探討對稱性在求解電場和磁場中的應用，有的文獻利用真矢量和膺矢量分析電磁場方向問題[2,3]，有的文獻將所研究對象分割成若干微元(電荷元和電流元)，再利用分布對稱性以及疊加原理分析出整體電場或磁場方向[4].應用高斯定理抑或是應用疊加原理來求解電場，都需要分析電場方向，應用安培環路定理或畢奧-薩伐爾定律求解具有對稱性載流導體的磁場時，分析磁場方向也是必不可少的一個過程.本文直接從帶電體(載流導線)的對稱著手，結合矢量繞軸旋轉的變化規律分析出教材中幾個典型電磁場例子[5，6]在對稱軸上任意點的電場(磁場)方向.

2理論依據

將矢量A沿兩個方向——垂直軸線和平行于軸線分解，分解得到的分量分別記為A⊥和A//，如圖1(a)所示.如果將矢量A繞著轉軸轉過一個角度α，那么A//保持不變，而A⊥隨轉軸轉過相同角度α，因此旋轉后得到的矢量方向將變化，即與旋轉前的矢量不等，圖1(b)給出了矢量A繞軸轉180°變成矢量A′這一情況，由此可推導出以下兩個結論.

結論1:當且僅當矢量垂直分量為零時，旋轉前后矢量保持不變.

結論2:當平行分量為零，如果旋轉一個180°角時，旋轉后的矢量方向與旋轉前方向相反了.

圖1　矢量繞軸旋轉

3對稱載流導線的磁場方向

3.1對稱帶電體在其對稱軸上任一點的電場方向

利用這一特性并結合帶電體的對稱性就較容易判斷帶電體在空間某一點的電場方向.圖2給出大學物理教材中常提到的3種均勻帶電體——帶電球體(球面)、帶電圓環和帶電直導線，假定它們在對稱軸的方向如圖所示.現將它們繞著各自的對稱軸旋轉180°角，會發現電場方向發生了變化，但帶電體在旋轉前后其電荷分布并未發生改變，這就違背了電場的唯一性.因此要使得旋轉后的電場方向不變，按結論1可知：在它們的對稱軸上某點的電場方向只能沿著對稱軸方向.

在此基礎上可將上面3個例子的結論推廣為：如果帶電體存在一個軸，繞著這個軸旋轉某一角度(例如180°)后，電荷分布未發生變化，則在該軸上任意點的電場方向必定沿著軸線方向.

圖2　幾種典型帶電體的電場方向

3.2載流圓線圈在其軸線上某點的磁場方向

假設在載流圓線圈軸線上的磁感應強度方向如圖3所示，現將圓線圈繞其軸線轉過一個任意角度，發現電流分布未發生變化，該點處的磁場方向卻發生了改變，這違反了磁場方向的唯一性.因此根據結論1可知：載流圓線圈軸線上的磁感應強度方向一定沿著軸線方向.

圖3　載流圓線圈在其軸線上某點的磁場方向

3.3同軸電纜內部磁場方向

圖4　同軸電纜內部磁場分析流程用的橫截面示意圖

4結論

本文直接借用了矢量繞著某軸心旋轉的規律，結合帶電體和載流導線的對稱性，使得對電場方向和磁場方向的分析更加快捷，由于不需太多的物理知識，對于學生也容易理解，對于培養學生邏輯思維能力有一定的幫助.

參 考 文 獻

1陳熙謀,趙凱華.電磁學教學中對稱性分析的積極意義. 大學物理,2005,24(4): 3～5

2黃亦斌,聶義友.鏡象對稱性在電磁學中的應用. 大學物理,2007, 26(10): 24～26

3劉國鈺.淺析對稱性分析在電磁學中的應用.職業技術教育, 2013,34(2):48～50

4余仕成, 周金華. 載流長直螺線管和螺繞環的磁場對稱性分析. 武漢工程大學學報, 2010, 32(5):106～107

5馬文蔚, 周雨青, 解希順. 物理學教程(下冊)(第2版). 北京:高等教育出版社, 2006.1～93

6梁燦彬, 秦光戎, 梁竹健. 電磁學(第2版). 北京:高等教育出版社, 2004

7趙近芳,王登龍.大學物理學(下)(第4版).北京:北京郵電大學出版社,2014.1～88

(收稿日期：2015-11-06)

*作者簡介：梁雄(1976-)，男，講師，主要從事大學物理及其實驗教學研究.

(龍巖學院福建 龍巖364012)