極坐標系在大學物理中的應用探析*

吳 杰

*教育部高等學校大學物理課程教指委教學研究立項項目,項目編號： DWJZW201533zn

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極坐標系在大學物理中的應用探析*

吳 杰

*教育部高等學校大學物理課程教指委教學研究立項項目,項目編號：DWJZW201533zn

摘 要：舉例介紹了極坐標系在力學和電磁學中的應用.指出在求解大學物理問題中,通過選用適當的坐標系可以優化物理模型,簡化計算過程,從而提高學生的學習興趣和積極性.

關鍵詞：極坐標系力學 電磁學畢奧-薩伐爾定律

大學物理中引入了矢量和微積分的知識之后,對各個物理量的定義相對于中學物理更具有普遍性,各種定理、定律的適用范圍更廣泛.但是要對一個物理量進行具體的描述,仍需要確定其大小和方向,這就需要坐標系來給出標準.最常用的坐標系有直角坐標系、自然坐標系、極坐標系及球坐標系等.在現行的大學物理教材中,對于一維直線運動或者拋物線運動通常采用的是直角坐標系,一般曲線運動中用的是自然坐標系[1,2].實際上,在極坐標系中,由于點的極坐標有著十分明顯的物理意義,在解決問題過程中,合理應用其物理意義,不僅可以比較容易地找出研究對象,簡化解題步驟,提高解決問題的能力和速度,更重要的是可以克服學生學習物理的畏懼心理,增強自信心,為后續課程的開設打下基礎.

1極坐標系及運動學表示

圖1　極坐標系

這兩個單位矢量和直角坐標系中單位矢量之間的轉化關系為

(1)

兩邊同時求導可得

(2)

注意：牢記式(2)這兩個微分關系能解決大學物理中的很多問題.

質點位移的表示為

dr=dρeρ+ρdφeφ

(3)

質點速度的表示

上式就是加速度a在極坐標系中(用eρ,eφ展開)的表示,其中加速度的徑向分量aρ(徑向加速度分量)和橫向分量aφ(橫向加速度分量)分別為

在圓周運動中由于徑向坐標等于常數,所以

2應用舉例

2.1極坐標在力學中的應用

圖2　引力做功

【例1】衛星繞地球運動引力做功問題.假設地球質量M,衛星質量為m,地球固定不動,衛星在地球引力作用下,從A點沿任意路徑運動到了B點,討論整個過程中地球引力對衛星所做功.

解析：以力心M為極點, (ρ,φ)為極坐標, 建立極坐標系.

由式(3)可得出

在現行的大學物理教材中,對于萬有引力及庫侖力做功,通常采用近似的方法,而實際畫圖都不可能真實描繪出真正的運動,所以學生在判斷時很難有兩個底角都是直角的三角形這個概念.雖然保守力做功特點記住了,但真正的原因還是沒有明白.引入極坐標系之后,只需按照功的概念,代入公式正常求解便能得出簡化的結果.

【例2】質量為m,長為l的均勻細棒,可繞垂直于棒的一端的水平軸自由轉動,如圖3所示,將此棒的自由端放在水平位置,然后放開任其落下,求棒轉過φ0角時水平軸的支持力N.

圖3　例2用圖

解析：在講到剛體力學部分,經常涉及到子彈與桿的碰撞問題,由于思維定勢,學生常常利用動量守恒來解決問題,因為求解的復雜性,教師也很少去分析受力情況,只是定性的說明而沒有定量的求解,會使學生理解不深,從而持有懷疑態度.如果用極坐標系與簡單的剛體內容,此問題便會迎刃而解.

如圖所示取O點為極點,水平為極軸方向,棒的方向為徑向.由動能定理可知,細棒轉過φ角時的角速度、角加速度分別為

棒的動量為

(4)

對該時刻應用質點系的動量定理,并利用式(2)可得

(5)

所以

(6)

若另取水平方向為x軸,垂直向上為y軸的直角坐標系xOy,則有

(7)

將式(7)代入式(6)得

(8)

大小變為原來的一半,當棒擺至最低端時

在力學中的很多實際問題中如果采用極坐標系, 并且利用徑向速度與橫向速度的概念, 不僅可以簡化物理模型,方便地解決此問題, 而且物理圖像特別清晰.

2.2極坐標在電磁學中的應用

圖4　極坐標系下的畢奧- 薩伐爾定律

利用極坐標可以簡化平面電流的畢奧-薩伐爾定律.如圖4所示，在導線上取一電流元,并以場點為極點O,建立平面極坐標系.ρ為極點到電流元的矢徑,水平向右為極軸,φ為極角,則有

在這里由式(3)可得

在極坐標系中,ρ是極角的函數,即ρ=ρ(φ), eφ與eρ屬于正交關系,可以由右手螺旋關系判斷B的方向,如果所有電流元電流方向一致,B的方向為垂直于電流與場點組成的平面,并滿足右手螺旋關系. 由此可得出整個平面電流在場點激發的磁場大小為

(9)

此式就是畢奧-薩伐爾定律在極坐標系中的表達式,原則上可以根據該式計算任意一個平面載流線圈在某點激發的磁場[4,5].

【例3】在真空中有一通有電流I的長直導線,求此長直導線附近任意一點P處的磁感強度.已知任意一點P到長直導線的垂直距離為r0.

圖5　載流直導線的磁場

利用極坐標系下的畢奧-薩伐爾定律還可以求物線形、橢圓形狀的載流導線焦點處的磁場,和直角坐標系相比,簡化了計算過程,并可以擴展到載流二次曲線的磁場分布[6～9].由于篇幅所限,這里不再贅述.

3結論

通過以上關于極坐標系在力學、電磁學中的應用討論可以看出：對于同一個物理問題來說,參照系的選擇原則上是任意的,但參照系的不同對問題研究的難易程度有很大的影響,具體表現為模型建立的簡易、計算上的冗簡.很多學生因為懼怕數學而放棄物理,所以優化模型、簡化計算過程是大學物理教學中應該重視的一個方面. 直角坐標系中橫坐標與縱坐標實質是用垂直的分向量來表示點的位置;極坐標系中的極徑與極角實質是用長度和角度來表示點的方位,涉及距離或角的問題簡捷明快.在研究具體問題時,應遵循簡單、方便、可行的原則,建立適當的坐標系,優化解題路徑,提高學生的解題能力,從而培養他們學習物理的興趣,增加自信心！

參 考 文 獻

1馬文蔚. 物理學教程.北京：高等教育出版社, 2006

2毛駿健. 大學物理學. 北京：高等教育出版社, 2006

3周衍柏. 理論力學教程. 北京：高等教育出版社, 1986

4王歷. B-S定律的極坐標形成及其應用. 長江工程職業技術學院學報, 1992,4(4):28～31

5殷岳才, 陸蓮芳. 畢奧-薩伐爾定律在極坐標系中的表達式及其應用. 沈陽師范大學學報：自然科學版, 1996,14(2):21～24

6王琪. 二維光滑曲線約束力的一般計算方法. 大學物理, 1993,12(7) :21～23

7袁泉, 趙力成, 李久會. 橢圓電流焦點處磁場計算. 渤海大學學報：自然科學版, 2006, 27(2):149～150

8林樂鑫, 肖化, 周少娜,等. 拋物線電流對稱軸任意點磁場的理論計算和實驗驗證. 大學物理, 2014, 33(4):11～14

9盧芳, 成泰民, 王金剛. 圓錐曲線電流在焦點處的磁感應強度. 物理與工程, 2007, 17(2):36～38

Analysis on Application of the Polar Coordinate System in University Physics

Wu Jie

(The School of Physics and Electronic Engineering, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou，Henan450002)

Abstract:This paper illustrates the application of polar coordinate system in mechanics and electromagnetism. It was pointed out that the physical model can be optimized and the calculation process can be simplified by choosing the appropriate coordinate system,thus The interesting and enthusiasm of students in physics are improved.

Key words:polar coordinate system; mechanics; electromagnetism; Biot-Savart Law

(收稿日期：2015-11-26)

*作者簡介：吳杰(1977-),女,碩士,講師,研究方向為粒子與原子核物理.
(鄭州輕工業學院物理與電子工程學院河南 鄭州450002)