均勻帶電球殼球面電場強度計算方法的討論

何志巍　李 純

(中國農業大學理學院應用物理系　北京　100083)

崔文宏

(中國農業大學生物學院　北京　100193)

金仲輝

(中國農業大學理學院應用物理系　北京　100083)

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均勻帶電球殼球面電場強度計算方法的討論

何志巍李 純

(中國農業大學理學院應用物理系北京100083)

崔文宏

(中國農業大學生物學院北京100193)

金仲輝

(中國農業大學理學院應用物理系北京100083)

摘 要：綜述近20年來大學物理教學中，關于均勻帶電球殼表面電場強度的討論，概括出3種常見的解法，探討了不同解法所得不同結果的本質，確定均勻帶電球殼表面電場強度的最佳算法.

關鍵詞：均勻帶電球殼電場強度積分方法

對于一個均勻帶電的非導體球殼，根據高斯定理很容易得出球殼內外的電場強度，但是球殼表面電場強度分布是什么樣的呢？顯然，知不知道這一點的場強對于很多實際工作并不會有太大影響，但基于物理知識體系的完整性，我們有必要探討一下這類問題，因為很多理論都是源于某些奇點、臨界問題的解決而得以發現或發展的.

1方法與結論

1.1方法一

文獻[1～4]都提到了這樣一種最為普遍的解法，如圖1所示,P為球面上任意一點，以球心O為極點，射線OP為極軸，在過球心O和點P的空間任意一個平面里建立極坐標系，其中點A(R,θ)為截面圓上除點P以外的任意一點，A點對應的球面圓弧帶電量記為dq, 易知圓弧中心點M與P點距離為R(1-cosθ).

圖1　點電場中P點的電場強度

已知一個帶電量q，半徑r的均勻帶電圓環，其在垂直于環面的軸線上距圓環中心為x處的點P電場強度為如圖2所示，則

(1)

那么，圖1中圓弧在P點產生的電場強度

(2)

(3)

所以，P點電場強度

(4)

圖2　環形電場中P點的電場強度

1.2方法二

文獻[5]通過功能原理求解該問題也得到了同樣的結論：

圖1中，設想把帶電球面從半徑為R緩慢地收縮到半徑為R-dR這一狀態, 則克服電場力做的功為dW=qEdR,E為球面上的電場強度.球面半徑減小dR后，距球心大于R處的電場強度及場的能量不發生變化，則該過程中克服電場力做的功轉變為收縮區域的電場能，即有(ER為收縮之后，距離球心為R處的電場強度)

(5)

由高斯定理可知

(6)

所以

(7)

1.3方法三

除了前兩種方法外，文獻[2]還提及另外一種解決問題的思路.圖1中由高斯定理得出

(8)

文獻[2]和文獻[6]還先后提到一種較為真實的球層模型，得出電場強度在球殼表面發生突變這一結論.如圖3所示,橫軸表示A點距離球心O距離x, 縱軸表示相應空間電場強度大小E，E在x=R處發生躍變.

圖3　球殼表面電場強度與球心距離的關系

2分析與討論

首先值得關注的是，文獻[2]提出另外一種合乎情理的解法，所得結果與其他兩種方法不同.筆者開始也是用這種類似的極限，求解出了相同的結果.那么，到底哪一種結論是對的呢？

文獻[6]認為討論球殼表面電場強度沒有意義，原因在于球殼模型是假想的而非現實存在的.一個均勻帶電球層(厚度為r)只有當其電場力作用點離它很遠，即d?r時(圖3)，球層厚度才可以忽略不計，此時變為球殼模型.而當A無限靠近球層表面時，球層將不能看做球殼.此時球層內外表面及內部電場強度分布均可以通過高斯定理求出，球層電場強度在整個空間連續分布(圖4,5).因而實踐中根本不存在所謂的球殼表面電場強度分布的問題.文獻[2]也得出了同樣的結論.

圖4　均勻帶電球殼無限遠處的電場強度

圖5　球層在整個空間的電場強度的分布

方法一中，當帶電圓環無限靠近P點以致到達P點時，該圓環在P點電場強度dE將不再是基于庫侖定律和疊加原理推出來的

(9)

圖6　P點所在處

事實上，求均勻帶電球殼q外面的電場強度時，將均勻帶電球殼看做一個位于球心，帶電量為q的點電荷，所得電場強度結果完全相同.這說明在一定程度上，均勻帶電球殼模型可以看做點電荷模型.用空間廣闊的尺度去看，求球殼表面電場強度，無疑和求點電荷所處位置電場強度相同.

當然以上從數學角度將點電荷與球殼聯系起來可能會覺得有點牽強，那么不妨回歸球殼模型本身.將球殼看成無數個點電荷的集合，此時求球殼表面電場強度與求點電荷在空間所處位置電場強度將沒有什么本質的區別.

莫非該問題真的無解？

方法二中文獻[5]通過功能原理，繞過庫侖定律成功地求解了該問題.它的思路一定程度上是經得起推敲的.思路中所提及的幾個物理量：電場強度E, 電場力做功W, 都不是在庫侖定律基礎上提出來的概念，只是通過庫侖定律，能進一步揭示這些物理量之間的關系.再者，在電場能量表達式推導的過程中，每一個物理量定義及規律的基礎也都與庫侖定律沒有必然的聯系[9].以嚴格的物理定義和公認的數學邏輯為基礎，該思路的完備性便體現于此！從而也可以得出方法三中的電場強度空間分布在球殼模型中是不連續的.

那么進一步講，均勻帶電球層在空間的電場強度是如何分布的呢？是連續還是間斷？其實結果是不得而知的.球層內外電場強度的計算固然沒有問題，但球層內部與球層內外表面電場強度分布的計算缺乏數學基礎.我們知道球層電荷體密度值，但一個曲面是沒有體積的，我們無法得出球層內外表面及球層內部高斯面上的電荷量.結果自然無法應用文獻[5]推出的結論.這是數學幾何基礎上的缺陷或局限.假設我們定義一個點是有長度，有面積的；一個面是有體積的，那么以上問題表面上看就可以得到解決.但是又會遇到其他問題，畢竟我們的數學幾何基礎變了，很多規律將換上新的面孔.

由球殼表面電場強度問題延伸到無限長均勻帶電圓柱表面電場強度問題，其解法頗為類似，同樣可以推出利用功能原理求解是比較科學合理的.使用功能原理時不一定要假設圓柱面收縮，假設圓柱面膨脹也是可行的，在此不多贅述.

3結論

參 考 文 獻

1施傳柱. 面電荷存在處電場強度的計算. 曲靖師專學報，1993,2(12)：42～44

2史守華. 電荷面分布模型和電場強度躍變的討論. 安徽大學學報，2001,4(25)：62～66

3彭海鷹. 均勻帶電球面的電場強度分布再討論. 物理與工程，2003,1(13)：60～61

4白俊彪. 均勻帶電球面上電場強度的計算. 思茅師范高等專科學校學報，2005,3(21):79～80

5金仲輝. 均勻帶電球面上的電場強度如何計算. 現代物理知識，2002(4):42

6李配軍. 均勻帶電球面的電場場強分布再討論. 物理與工程，2003,6(13)：49～50

7歐幾里得. 幾何原本. 燕曉東譯.北京：人民日報出版社，2005.26～27

8同濟大學應用數學系. 高等數學(第5版)(上冊). 北京：高等教育出版社，2001.59～62

9金仲輝，柴麗娜. 大學基礎物理學(第3版). 北京：科學出版社，2010.128～157

Discussion on the Calculation Method of the Electric Field Intensity on Surface of Evenly-charged Spherical Shell

He ZhiweiLi Chun

(Department of Applied Physics, College of Science, China Agricultural University, Beijing100083)

Cui Wenhong

(College of Biology, China Agricultural University, Beijing100193)

Jin Zhonghui

(Department of Applied Physics, College of Science, China Agricultural University, Beijing100083)

Abstract：Review some discussion on electric field on the surface of evenly-charged spherical shell within 20 years, summarize and analyze three common solutions to ensure correct answer to this problem.

Key words：evenly-charged spherical shell；electric field; integration method

(收稿日期：2015-11-10)