圓錐曲線的一組性質

■陜西省柞水中學黨顯武

圓錐曲線的一組性質

■陜西省柞水中學黨顯武

圓錐曲線問題是高中數學的重點和難點，每年的高考都會涉及，然而由于出題形式多有變化，加之其系統性和綜合性強等特點，很多學生會在此失分.因此教師應特別注意圓錐曲線問題的教學.在教學中筆者發現，圓錐曲線有如下幾條相互聯系的性質，在此進行歸納總結、分析論證，愿與大家共享.

性質1：在圓錐曲線C中，點F與直線l是曲線C相應的焦點與準線，點M是準線l上任意一點.過點M作曲線C的兩條切線MA、MB，切點分別為A、B；直線MA、MB、MF的斜率分別為k1、k2、k0.

則：k1+k2=2k0.

以橢圓為例證明.

消去y得：

因為直線MA、MB與曲線C相切，所以在方程①中，Δ=0.即

從而，k1，k2是方程②的兩根.

所以k1+k2=2k0.

三點A、F、B不共線.若考慮三點A、F、B共線，即直線AB過曲線C的焦點F時，進一步發現圓錐曲線具有另一個相類似的性質.

性質2：圓錐曲線C中，點F與直線l是曲線C相應的焦點與準線，點M是準線l上任意一點.過焦點F的直線交曲線C于A、B兩點.直線MA、MB、MF的斜率分別為k1、k2、k0.則：k1+k2=2k0.

以拋物線為例證明.

證明：設拋物線C:y2=2px（p＞0）

由題意可知，過焦點F的直線AB的斜率不為0.

，消去x，得到y2-2pky-p2=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是方程的兩個根，

從而，Δ=4p2k2+4p2＞0，

所以：y1+y2=2pk，y1·y2=-p2.

所以k1+k2=2k0.

進一步考慮點M的位置對∠AMF與∠BMF大小關系的影響，再得到圓錐曲線的一個性質.

性質3：圓錐曲線C中，點F與直線l是曲線C相應的焦點與準線，點M是準線l上任意一點.過焦點F的直線交曲線C于A、B兩點.

（1）若點M是曲線C的準線l與對稱軸的交點，則直線MF平分∠AMB；

（2）若直線MF平分∠AMB，則點M是曲線C的準線l與對稱軸的交點.以雙曲線為例證明.

由性質2得，k1+k2=2k0，

所以k1+k2=0.

所以：直線MA、MB關于x軸對稱.

所以∠AMF=∠BMF，即直線MF平分∠AMB.

（2）若直線MF平分∠AMB，即∠AMF=∠BMF，

則tan∠AMF=tan∠BMF.

根據直線l1到l2的角的計算公式，得

化簡，得k02（k1+k2）+2k0-2k0k1k2-（k1+k2）=0.

由性質2知，k1+k2=2k0，代入、化簡，得：

因為k1≠k2（否則直線MA、MB重合），

所以k0=0.

所以y0=0.因此

則點M是曲線C的準線l與對稱軸的交點.

總之，由于圓錐曲線問題的教學難度比較大，教師在平時的教學中，要注意把握住重點，循序漸進地進行滲透，切不可急于求成，造成知識“擁堵”的現象.對于學生提出的問題，教師在進行耐心解答的同時，還要讓學生對知識進行梳理和總結，這樣才能融會貫通，從而提高教學效率.

編輯/王一鳴

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