一種基于最優多項式模型的車身耐撞性敏感性分析法*

劉 杰,劉光昭,許 燦,于鐘博

(湖南大學機械與運載工程學院，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

2016109

一種基于最優多項式模型的車身耐撞性敏感性分析法*

劉 杰,劉光昭,許 燦,于鐘博

(湖南大學機械與運載工程學院，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

為評價車身耐撞性對結構參數的敏感性，提出了一種基于最優多項式模型的新型全局敏感性分析方法。通過誤差減少比率的結構選擇技術構造了描述耐撞性指標和結構設計參數之間關系的最優多項式模型，并利用基于直接積分的Sobol方法進行全局敏感性分析。該方法克服了傳統方法計算量大、結果不穩定等缺點，車輛正撞和側撞工程算例的敏感性分析結果表明了該方法的有效性和實用性。

車身耐撞性；全局敏感性；最優多項式；Sobol方法

前言

結構敏感性分析通過分析各設計參數與設計目標之間的變化規律，并以敏感性指標為基準對車身各結構參數的影響程度進行有效排序和評估[1]，這對于提高車身產品的設計效率，縮短設計周期，快速有效地確定結構修改方案有著重要意義和實際價值。

目前敏感性分析分局部和全局分析兩大類方法[2]。局部敏感性分析方法[3-5]主要包括直接求導法、有限差分法和攝動法，其分析簡單，但只能檢驗單個參數的變化對設計目標的影響程度，適用于線性模型且參數范圍較小情況。全局敏感性分析方法[6-9]包括回歸分析法、方差分析法、傅里葉幅值分析法和Sobol法，其參數變動范圍可擴展到參數的整個定義域，允許多個參數同時變化，且不受模型的限制，但全局法往往通過采樣技術來分析，其計算量較大。其中，Sobol法[10-11]是一種應用較廣泛的全局敏感性分析方法，該方法基于方差分析，通過計算單個或多個設計參數對設計目標方差的貢獻來評估各參數的敏感性，同時還能給出多個參數的交互作用對設計目標的影響。傳統Sobol法通常采用蒙特卡洛采樣進行求解[12-13]，這需要大量的樣本信息，且敏感性分析結果的穩定性嚴重依賴于樣本。對于車身耐撞性設計這類復雜問題，單次有限元模擬計算就已經非常耗時，因此通過大量采樣進行Sobol全局敏感性分析是很難實現的。雖然有些學者建立了設計參數與車身耐撞性指標之間的各類近似模型，再在近似模型的基礎上進行基于蒙特卡洛采樣的Sobol敏感性分析，這一定程度克服了計算量大的問題，但分析結果依然存在對樣本的依賴性，尤其是對于高維變量的設計問題，近似模型的精度、采樣的方法、樣本量的大小等都可能使分析結果存在較大偏差，特別是對于高階交叉項的敏感性分析存在較大的偏差和數值不穩定性。

為更有效準確地量化車身耐撞性設計中結構參數的敏感性指標，本文中提出了一種新型基于最優多項式模型的全局敏感性分析方法。該方法根據誤差減少比率對耐撞性指標和設計參數之間的多項式結構進行尋優，這種最優多項式模型不僅結構簡潔、近似精度高，而且非常適用于直接積分的Sobol敏感性分析。正撞和側撞工況下的車身結構的全局敏感性分析結果驗證了本文中方法的有效性和實用性。

1 車身耐撞性的Sobol敏感性分析

針對車身耐撞性設計問題，利用Sobol敏感性分析方法對關鍵設計參數進行識別和定量化評估時，可將耐撞性指標分解成單個設計參數和參數之間的正交函數組合，即

f12…n(x1,x2,…,xn)

(1)

式中：x為n維設計參數向量；f(x)為耐撞性指標，如最大侵入量、加速度峰值等。

式(1)右邊共有2n項，若除常數項f0外，各子項滿足對其包含的參數積分為零，即

1≤i1<…

(2)

則式(1)可唯一分解，且各項可通過下列多重積分求得

f0=∫f(x)dx

(3)

(4)

(5)

同理可求得各階高次項f12…k(x1,x2,…,xk)。

Sobol敏感性分析法通過偏方差和總方差之比來表示設計參數及其交互作用對耐撞性指標的影響程度[10-11]，其中耐撞性指標f(x)的總方差D為

(6)

式(1)中各項的偏方差Di1…is為

(7)

對式(1)兩邊先平方再積分，并由各項正交的性質可得

(8)

則式(1)中各項的敏感性指標Si1i2…is為

Si1i2…is=Di1i2…is/D

(9)

單個設計變量xi的總敏感性指標TS(xi)為

TS(xi)=1-S-i

(10)

式中S-i為不包含變量xi的所有Si1i2…is項之和。

Sobol敏感性分析方法在構造正交函數和計算方差的式(3)～式(7)中，都涉及多重積分的計算，傳統是利用蒙特卡洛法進行求解。由于蒙特卡洛積分的準確性和穩定性往往取決于抽樣的規模和均勻性，因此這將導致一方面對于車輛碰撞這類復雜工程問題，其計算量太大；另一方面對于高維設計變量問題，其敏感性分析結果不夠準確。如果能構造出耐撞性指標和高維設計變量之間的較準確且便于直接積分的近似模型，則基于直接積分進行Sobol敏感性分析，能有效提高敏感性分析的效率和精度。

2 基于結構選擇的最優多項式模型

在利用各類響應面對車輛耐撞性進行Sobol敏感性分析時，多項式響應面非常適合直接積分計算。為在高維設計向量下較準確地替代耗時的模型仿真，下面采用誤差比例結構選擇技術[14-15]構造耐撞性指標和結構設計參數之間的最優多項式模型。

將耐撞性指標f(x)表示為n維設計參數的完全多項式組合，即

(11)

式中：ui為設計變量xi在m次方下的完全多項式；ai為待定多項式系數；多項式總項數為N=(n+m)!/(n!m!)。一般來說冪指數m可足夠大，能包含全部有效的多項式項。多項式結構選擇技術將對式(11)中每一項的顯著性進行評估，并按照誤差減小比率選擇出有效的多項式項，從而獲得耐撞性指標關于設計參數的最佳多項式模型。

為確定多項式模型及其系數，假定在n維設計參數空間進行L次抽樣，并將式(11)的右邊進行變換用正交集表示為

(12)

式中：f(k)為第k次抽樣計算的耐撞性指標；pi(k)為第k次抽樣下的正交項，由式(11)中各項經正交變換而得到；hi為正交項的系數。由于式(12)各項正交，故有

(13)

pi(k)可以用Gram-Schmidt正交化得到

(14)

(15)

式中：ui(k)為第k次抽樣下式(11)中的各多項式；αij為系數。

在正交化過程中p0(k)=1。

定義誤差函數MSE為

(16)

根據極值條件，式(16)右邊表達式對hi求導，并令其等于0，可得

(17)

將式(17)代入式(16)，并由pi(k)各項兩兩正交，可得

(18)

(19)

每次正交變換后，計算各項對MSE減小的貢獻率ERRi，選出誤差減小比率最大的一項保留，剩余項重新按照上述方法做正交化處理并評價貢獻率，直至剩余項中最大ERRi小于設定的閾值，則這些項可被舍棄。求解得到hi，再通過反正交變換可獲得式(11)中保留項的系數為

(20)

式中：qi=1，且

(21)

由此可確定耐撞性指標關于設計參數的多項式模型的最佳結構及系數，在此基礎上可方便地進行直接積分運算并評價各參數敏感性。

3 直接積分全局敏感性分析流程

基于最優多項式模型和直接積分的Sobol敏感性分析法對車輛耐撞性進行全局敏感性分析的流程如圖1所示，具體步驟為：

圖1 直接積分全局敏感性分析流程

①確定耐撞性指標、設計參數及其范圍；②對設計參數進行實驗設計，如利用拉丁超立方方法進行抽樣；③計算仿真模型抽樣點的耐撞性指標；④通過誤差減少比率的結構選擇技術構造了耐撞性指標和結構設計參數之間的最優多項式模型；⑤在最優多項式模型基礎上，利用式(3)～式(5)進行直接積分，求得式(1)中各項；⑥對式(1)各項，利用式(6)和式(7)進行直接積分，求得總方差和偏方差；⑦利用式(9)和式(10)對各設計參數的各階敏感性進行評價。

4 數值算例

通過一個數值算例驗證本文中所述方法的正確性和敏感性分析結果的準確性。數值算例的模型為

f(x)= 0.810-0.116x1+0.121x2+0.152x3+

(22)

式中：x∈[-1,1]，其Sobol敏感性指標可以通過直接積分法得到。利用拉丁超立方法在x定義域內進行30次抽樣，并代入式(22)求解函數值。為驗證基于結構選擇構造最優多項式模型的穩定性和準確性，在計算的函數值中加入10%水平的噪聲，模擬實際測量或計算誤差，帶噪函數響應fδ為

fδ=fc+lδ·std(fc)·rand

(23)

式中：fc為樣本處計算的函數值;std(fc)為計算函數值的標準差;lδ為百分數，表示噪聲水平；rand為均值是0，方差是1的隨機數。利用樣本點先建立完全多項式模型，進行結構選擇，得到最優多項式模型：

(24)

對比式(22)和式(24)可知，結構選擇技術能選擇出所有有效的多項式項，且具有很好的抗噪能力。表1列出本文方法和對式(22)進行不同規模蒙特卡洛抽樣的敏感性指標計算結果，其中抽樣Ⅰ和Ⅱ為不同批次下抽樣5 000，抽樣Ⅲ和Ⅳ為不同批次下抽樣10 000。從表1結果可看出，基于蒙特卡洛方法的Sobol敏感性分析方法在不同抽樣批次和規模下，其敏感性結果不穩定，特別是對于高階敏感性指標其分析結果誤差較大，而基于本文方法構造的最優多項式(24)與式(22)相近，因此對其進行直接積分的敏感性分析結果準確性較高。

表1 不同方法的敏感性分析對比

5 工程應用

5.1 正撞工況車身結構的全局敏感性分析

建立某型車正面碰撞剛性墻有限元模型[16]，如圖2所示，碰撞速度為56.3km/h。車輛正撞時前端部件為主要變形吸能部件，因此選取該車前端7個部件的厚度作設計參數，這7個部件分別為左側長縱梁x1、左側子框架臂x2、前部子框架x3、左側腳踏板梁x4、左側防護罩x5、發動機內蓋x6和發動機外蓋x7，如圖3所示。

圖2 車輛正撞有限元模型(碰撞后100ms)

圖3 車輛正撞的設計部件

選擇左側B柱底端加速度A和碰撞發生后總內能E作為車輛正面碰撞的耐撞性評價指標，利用拉丁超立方法進行50次抽樣，并分別建立加速度a和總內能E的最優多項式模型：

a= 55.80-6.55x1+6.39x2+5.15x3+0.59x4+

0.34x1x3-0.46x1x4-3.00x1x5+2.01x1x6+

(25)

E= 144.64+7.15x1+2.72x2+1.81x3+25.34x5-

0.77x1x3+0.20x1x4-0.64x1x5-0.33x1x6+

(26)

基于直接積分法進行Sobol敏感性求解，表2中列出了敏感性分析所得的各設計參數的1階敏感性指標和總敏感性指標的值。

表2 正撞工況的全局敏感性分析結果

由表2可以看出，該車型在正碰工況下長縱梁、發動機內蓋、子框架臂和防護罩對其B柱底端加速度影響較大，其余3個部件影響較小；對于碰撞總內能，長縱梁對其影響最大，在7個部件中占吸能比的60%以上，是車輛正面碰撞主要的吸能部件，這與長縱梁變形最大吸能最多的實際情況相符。通過正撞工況的敏感性分析結果，能有效篩選出對耐撞性指標影響較大的關鍵結構參數，從而為其優化設計提供指導。

5.2 側撞工況車身結構的全局敏感性分析

建立某車側撞工況下的有限元模型[17]，如圖4所示。碰撞速度為50km/h。當車輛受到側面碰撞時，一方面變形較大的部位為車體左側的框架、車門和B柱等，它們在側撞中起著主要的吸能作用；另一方面可利用的緩沖吸能空間有限，又要求車門有足夠的剛度，不應發生較大的變形。因此，在車輛側撞工況的耐撞性設計中要兼顧碰撞吸能和側面剛度兩方面的需求。選取4個部件的厚度作為設計參數，即左側一體式框架y1、側前門加強筋y2、左側B柱內板y3和外板y4，如圖5所示。

圖4 車輛側撞有限元模型(碰撞后100ms)

圖5 車輛側撞的設計部件

選擇B柱的最大侵入量U，B柱中部最大侵入速度v和非碰撞側B柱下端加速度的第一個峰值M作為側面碰撞的耐撞性指標，分別建立U，v和M的最優多項式模型：

U= 349.90+18.03y1-95.32y1y4-8.91y2y3+

(27)

(28)

(29)

表3列出各設計參數的敏感性分析結果。

表3 側撞工況的全局敏感性分析結果

由表3可知，側撞工況下一體式框架是影響B柱侵入量的最主要因素，約占總影響的68%；前門加強筋橫向布置于車門處，故側撞過程中對侵入量影響較小，這與敏感性分析結果相符，另外前門加強筋對B柱中部最大侵入速度、非碰撞側B柱下端加速度峰值影響較大；B柱內板和外板連接在一起，內板對外板起加固作用，其對各耐撞性指標的影響趨勢較一致，敏感性分析結果也表明了這一點；各參數的相互作用對耐撞性指標影響較小，1階和2階敏感性指標之和近似等于1，故更高階敏感性值非常小。

6 結論

針對車身耐撞性問題，結合最優多項式選擇技術提出了一種新型全局敏感性分析方法。該方法基于誤差比例對多項式每一項的有效性進行評價，并構造了耐撞性指標和結構設計參數之間的最優多項式模型，這使采用直接積分法求解Sobol敏感性成為可能，有效提高了車身結構參數全局敏感性分析的效率和精度。基于該方法能準確地評價車身設計參數對耐撞性指標的敏感性，為車輛耐撞性設計和優化等提供了重要依據。

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A Novel Sensitivity Analysis Method for Vehicle BodyCrashworthiness Based on Optimal Polynomial Models

Liu Jie, Liu Guangzhao, Xu Can & Yu Zhongbo

CollegeofMechanicalandVehicleEngineering,HunanUniversity,StateKeyLaboratoryofAdvancedDesignandManufacturingforVehicleBody,Changsha410082

A novel global sensitivity analysis method based on optimal polynomial model is proposed to evaluate the sensitivity of structure parameters to vehicle body crashworthiness. The optimal polynomial models describing the relationship between crashworthiness indicators and structural design parameters are constructed with the structure selection technique for error reduction ratio, and the Sobol global sensitivity analysis is performed by direct integration. The method proposed overcomes the shortcomings of much computation efforts required and insecure results with traditional method. The results of sensitivity analysis for engineering examples of vehicle frontal and side crashes demonstrate the effectiveness and practicality of the method.

vehicle body crashworthiness; global sensitivity; optimal polynomial; Sobol method

*國家自然科學基金(11572115，11232004)和汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主研究課題(51475003)資助。

原稿收到日期為2014年6月16日。