控制工程基礎課程中伯德圖繪制的探討[1]

崔吉，張燕超

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控制工程基礎課程中伯德圖繪制的探討[1]

崔吉1，張燕超2

（1. 中國礦業大學 徐海學院，江蘇 徐州 221000；2. 中國石油天然氣管道第二工程公司，江蘇 徐州 221008）

伯德圖的繪制既是控制工程基礎課程中的重點又是難點內容，學生不易理解掌握．根據多年教學經驗，將高等數學分段函數思想應用在對數幅值曲線繪制中，降低了伯德圖繪制的難度，便于學生理解掌握；同時又可利用分段表達式來求解剪切頻率，分析閉環系統穩定性，使其更加便捷地應用于實際現場．

伯德圖；分段函數；剪切頻率；穩定判據

在控制工程基礎課程中，頻率特性分析（有時也稱為頻率響應）是利用開環系統函數來分析閉環系統穩定的主要方法，并借助伯德圖分析系統穩定性，相比勞斯代數判斷更直觀．頻率響應有乃奎斯特圖（極坐標圖）和伯德圖（對數坐標圖）兩種方法[1]．兩者相比，極坐標圖繪制相對簡單些，但精度不是很高，所以有時會影響系統閉環穩定性判斷的準確性[2]；伯德圖繪制相對復雜些，但判斷閉環系統穩定性和準確性較高，且判斷穩定性原理相對簡單．因此，伯德圖的繪制就成為控制課程的教學重點和難點．根據多年教學實踐，借助高等數學中分段函數思想，根據轉折頻率，將伯德圖自變量劃分為若干區間，然后繪制出每一區間的伯德圖，進而得到整體伯德圖．使學生既懂得了伯德圖的繪制，又掌握了利用伯德圖判斷系統的穩定性及剪切頻率等性能參數的計算，極大地提高了教學效果．

1 利用分段函數繪制伯德圖

學生不容易掌握伯德圖繪制的原因有兩個[3]：一是求解頻率特性的幅頻和相頻；二是如何建立對數坐標系．雖然借助MATLAB等軟件可以比較簡單地繪制出伯德圖[4]，但要讓學生掌握伯德圖思想就需要把這些內容介紹清楚．選用董景新主編的《控制工程基礎》[5]為教材，書中先介紹了典型環節的伯德圖繪制；開環傳遞函數伯德圖則要將系統頻率特性化為典型環節頻率特性的乘積，這里要強調的一定要換成標準的典型環節；然后求解出各個典型環節的幅值和轉折頻率，最后依照轉折頻率的大小依次畫出伯德圖．概括為“先比例后積分然后按照轉角頻率的大小依次疊加”[6]．根據伯德圖繪制的方法，按照轉角頻率將橫坐標劃分為幾個區間，整個伯德圖表達式就可以變換成分段函數，然后按照區間段來繪制每個表達式，這樣學生就容易繪制幅值的伯德圖．

２繪制伯德圖的實例

（2）換成標準形式．由于該表達式已經為標準式，無需再變換，這一步驟要給學生著重強調．

（3）求出每個典型環節的轉折頻率以及斜率．

根據分段函數表達式，幅值對數伯德圖很容易繪制出（見圖1）．但繪制幅值伯德圖時，可用分段直線來代替曲線，便于在工程現場大致分析系統性能．為保證圖形的連續性，利用分段函數表達式，前一段直線的終點可認為是后續區間段的起點．

圖1 利用分段函數繪制的伯德圖幅頻曲線

利用這個分段函數，也可以在不繪制伯德圖情況下求出剪切頻率．剪切頻率可以看作是幅值對數伯德圖與零分貝線的交點，利用分段函數的區間段求出極值．這樣就可以判斷在哪個區間段存在剪切頻率，然后令該區間的函數值為0，求出剪切頻率[7-8]．在上述實例中第1段最小值為12 dB，第2段最小值則為-12 dB，因此剪切頻率判斷出在第2區間內．令第2分段函數的值為0，即可求解剪切頻率值為50 rad·s-1．

此外，利用相位裕量，也可大致判斷系統的穩定性．將剪切頻率帶入相頻表達式中得到：

很顯然，系統臨界穩定．與教材[5]的判斷結果一致．

通過具體實例可以看出，分段函數在伯德圖繪制中起到很大的作用，既方便學生理解伯德圖的含義，同時還可以在不繪制出幅值和相頻伯德圖的前提下，大致判斷出系統的穩定性．

[1] 彭珍瑞，董海棠．控制工程基礎[M]．北京：高等教育出版社，2010

[2] 方斌．關于Bode圖穩定判據與穩態誤差級數的討論[J]．信息與控制，1999，28（4）：293-296

[3] 張翠平．淺談《控制工程基礎》的幾點教學體會[J]．長春理工大學學報：高教版，2009，4（1）：191-192

[4] 張琳．MATLAB與控制系統的頻域分析[J]．邢臺職業技術學院學報，2011，28（1）：86-88

[5] 董景新．控制工程基礎[M]．2版．北京：清華大學出版社，2003

[6] 李增權，馬靜婕．關于伯德圖畫法的探討[J]．內蒙古電大學刊，2005（4）：56-59

[7] 謝麗蓉，程靜，瑪依拉，等．控制系統穩定性判別的虛擬平臺設計[J]．工業和信息化教育，2014（5）：81-82，90

[8] 張正強．在伯德圖上求截止頻率的一種解析方法[J]．電氣電子教學學報，2009（31）：31-33

The study for drawing Bode diagram in basis of control engineering

CUI Ji1，ZHANG Yan-chao2

（1. Xuhai College，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221000，China；2. No.2 Subsuduary Construction Company of China Petroleum Pipeline Bureau，Xuzhou 221008，China）

Drawing Bode diagram is important and difficult subject in basis of control engineering，but it isn′ t easy to be understood and mastered．Based on teaching experience，sectional function is used in drawing logarithm amplitude frequency characteristic curve．This method can reduce difficulty in drawing Bode diagram and is easier to be understood and mastered．Meanwhile it is useful to calculate cut off frequency and analysis system stability．And the method is more convenient to be applied to actual field．

Bode diagram；sectional function；cut off frequency；stability criteron

TB23∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.020

2015-12-17

崔吉（1982-），男，山東泰安人，講師，碩士，主要從事機電一體化系統設計、工業自動化控制系統設計等研究．E-mail：crest19@163.com