利用對稱性求解初等概率問題

陳丹

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利用對稱性求解初等概率問題

陳丹[1]

（遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116000）

在初等概率領域，對稱性問題較多．重視其研究，不僅能夠提高解題技巧和速度，而且對理解中學概率部分的教學思路十分有益．通過圍繞初等概率解題的方法，有意識地比較出利用對稱性解決初等概率問題的簡便性，從而能應用到中學數學的教學中．

對稱性；概率；中學數學教學

在中學概率領域，對稱性問題較多，重視其研究，不僅能夠提高解題技巧和速度，而且對中學概率部分教學的理解十分有益．本文給出古典概型和幾何概型概率問題的實例[1-3]，指出它們都具有對稱性，利用對稱性可解決初等概率問題，其方法與一般解法相比，具有初等性和簡明性．而中學部分的概率問題也主要研究古典概型和幾何概型，所以利用對稱性解決中學概率問題就顯得尤為重要，對稱性的解題方法可廣泛應用到中學概率的教學中．

1利用數學期望計算古典概型概率

對中學概率中古典概型的理解和計算不可避免地會應用到隨機變量的數學期望這一數學特征．

引理[4-5]袋子中共裝有只球，設其中紅球數為隨機變量，若紅球數的數學期望為，那么從這個袋子中摸出一球是紅球的概率為．

2利用對稱性計算古典概型及幾何概型概率

對稱事件其發生的可能性相等．所以對兩個結構相同、完全處于對稱位置的平等事件，其發生的概率也應該是相同[7]．而古典概型和幾何概型基本事件發生的概率都是等可能的，因此，在古典概型和幾何概型中，應用對稱性可以簡化解題思路，提高解題速度．

對每一組同桌而言，要么男學生在前要么其女同桌在前，只有這２種可能，而且兩者是等可能的．那么由事件的對稱性可知，．由于每一組同桌排列的事件是相互獨立的，即是相互獨立的．所以，由概率計算法則可知，．

與例2解法1相比，應用事件對稱性的解法2解題方法思路更簡單，計算更簡便．

例3解法2設想把球一個個都取出，把全部的球看作全排列[8]．那么３個白球把整個排列分割成４段，設第1個白球之前的球數為，第1個白球與第２個白球之間的球數為，第２個白球與第３個白球之間的球數為，第３個白球之后的球數為．由于每種排列的可能性相同，３個白球的分布又是均勻的，所以隨機變量具有相同的分布列，因而有相同的期望，且．

由于幾何概型概率問題具有類似的對稱性[6]，因此對稱性也可以應用到幾何概率問題的求解中．

3結論

在求解古典概型問題時，例1、例2解法1、例3解法1是通過隨機變量的數學期望來求解；例2解法2、例3解法2、例4是通過概率的對稱性求解，因此對稱性可以應用到幾何概率問題的求解中．當然，不論是利用對稱性計算古典概型概率，還是利用數學期望計算古典概型概率，在具體解題的過程中都要注意構造恰當樣本空間，而且在構造的樣本空間中，每個基本事件出現或發生的可能性必須相同．

比較例2解法1與例2解法2，其結果完全相同，但例2解法2充分利用了對稱性，思路簡單，簡化計算過程，提高解題速度．由于幾何概型也有類似的對稱性，因此由例4可以看出，對稱性解題也簡化了計算過程．

由于中學概率問題研究中最重要的是古典概型和幾何概型．因此，在求解初等概率問題時，對稱性的應用可以簡化思路，便于計算，提高解題速度．

[1] 魏宗舒．概率與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，1997：32-79

[2] 周概容．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，1984：61-75

[3] 毛用才．概率論與數理統計學習指導[M]．西安：西安電子科技大學出版社，2000：10-31

[4] 王擇．初等數學中的對稱性及其應用[J]．蒙自師專學報，1995（12）：64-69

[5] 李賢平．概率論與數理統計[M]．上海：復旦大學出版社，2003：80-97

[6] 宋建儒．高等數學解題方法與技巧[M]．西安：陜西教育出版社，2003：20-51

[7] 陳運新．對稱性在積分中的應用[J]．數學理論與應用，2000（4）：7-28

[8] 陳希孺．概率論與數理統計[M]．合肥：中國科學技術大學出版社，1992：7-27

Solving elementary probability problem with symmetry

CHEN Dan

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116000，China）

In the field of elementary probability，the symmetry problem is more．Attention to its research，not only to improve the problem-solving skills and speed，but also the probability of the secondary school teaching is very useful．By means of the method of solving the problem of elementary probability，makes a comparison of the simple and convenient，which can be applied to the teaching of middle school mathematics．

symmetry；probability；middle school mathematics teaching

O211∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.019

2015-09-22

陳丹（1990-），女，遼寧興城人，在讀碩士研究生，從事應用統計學研究．E-mail：1049468612@qq.com