基于MATLAB汽車發動機配氣凸輪的型線設計與接觸應力分析*

陳晨，王自勤，田豐果，陳家兌，徐玉梁

(貴州大學現代制造技術教育部重點實驗室，貴州貴陽550003)

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基于MATLAB汽車發動機配氣凸輪的型線設計與接觸應力分析*

陳晨，王自勤，田豐果，陳家兌，徐玉梁

(貴州大學現代制造技術教育部重點實驗室，貴州貴陽550003)

摘要：在汽車發動機配氣凸輪的型線設計過程中，通過選用合適型線函數，設定預期從動件運動邊界條件，推導凸輪接觸應力計算公式，進而通過MATLAB編程，可生成預設的從動件升程、速度、加速度和凸輪接觸應力曲線。文中所涉及的MATLAB程序以期快速完成凸輪設計和分析凸輪接觸應力為目的，應用此方法可顯著提高配氣凸輪設計的速度和精度，并為凸輪機構的優化提供理論依據。

關鍵詞：配氣凸輪型線設計MATLAB接觸應力

0引言

凸輪機構具有結構緊湊、可精確實現復雜運動規律等特點而被廣泛用于在汽車發動機配氣機構中[1]。配氣機構的性能指標在很大程度上取決于它的主動件,配氣凸輪的型線[2]。而在配氣機構中，配氣凸輪與從動件之間的摩擦是一對重要的摩擦副，若兩者接觸應力過大，容易導致磨損、擦傷和劈裂等故障，進而影響配氣機構的正常工作。在設計凸輪型線時，需要計算并校核凸輪與從動件之間的接觸應力[3]，然而由于凸輪輪廓的曲率半徑隨凸輪轉角的變化而改變，將動力學問題考慮進去將致使接觸應力計算量加大，要得到凸輪轉角與凸輪接觸應力的關系，用傳統計算手段難以在工程中實現。

目前已有的研究多集中在凸輪型線設計或凸輪接觸應力計算分析的單方面研究上，兩者同時進行設計計算較少。本文作者示例了一種通過MATLAB編程，應用其強大的數據處理能力，在設計凸輪型線的同時也完成了凸輪與從動件的接觸應力的計算，并可直觀的得到凸輪從動件位移、速度、加速度曲線以及凸輪各轉角處的接觸應力曲線圖像，便于對氣門的狀態和凸輪與從動件之間接觸應力進行分析，在為凸輪機構的優化提供理論依據同時，也可顯著提高配氣凸輪設計的速度和精度。

1凸輪型線函數的確定

凸輪型線由緩沖段和工作段兩部分組成[4]。緩沖段曲線種類很多，本文以等加速-等速型為例。

與凸輪設計常用的其他型線相比，高次多項式凸輪型線因具有良好的整體連續性和升程曲線高階連續性等特點，使發動機的配氣機構獲得良好的運動平穩性和動力學特性[5]，而被廣泛的應用。在設計時，高次多項式常取五至七項，而第六項以后對動力性能指標的影響已經很小，且隨著高次多項式項數的增加，凸輪豐滿系數減小，加速度的絕對值變大，凸輪機構的工作性能下降[6]。鑒于上述原因，本文中的凸輪工作段的型線以五次多項式為例進行設計計算。

2從動件升程函數與邊界條件

文中的凸輪型線采用對稱形式，只設計上升段，再將上升段函數對稱得出下降段。

凸輪緩沖段從動件升程曲線函數表示為：

(1)

凸輪工作段從動件升程曲線函數表示為：

s(α)=C4α5+C5α4+C6α3+C7α2+C8α+C9

α2≤α≤α3

(2)

其中：Ci，i=1-9，為待定系數；α0為緩沖段起始點；α1為緩沖段分界點；α2為緩沖段終點(工作段起始點)；α3為工作段終點；α為凸輪轉角，單位：°。

根據從動件的運動規律確定升程函數的邊界條件，現取α0=0°、α1=10° 、α2=15°、α3=80°。

當α=0°時：

當α=10°時：s(α)=0.06

當α=15°時：

當α=80°時：

3接觸應力公式推導

對于平底從動件盤形凸輪機構，平底從動件與凸輪輪廓理論上為線接觸，但在受載情況下，由于材料的彈性變形，實際上為很小的面接觸，且最大接觸應力發生在接觸區中線上[7-8]。接觸面上的最大接觸應力按彈性理論中的赫茲公式計算：

(3)

式中：Fn為凸輪與平底從動件接觸處法向載荷，N；

ρ1、ρ2分別為凸輪實際輪廓線的曲率半徑和平底從動件曲率半徑，mm；

b為凸輪與平底從動件的接觸線長度，mm；

μ1、μ2分別為凸輪與從動件材料的泊松比；

E1、E2分別為凸輪與從動件材料的彈性模量，MPa。

由于平底從動件的曲率半徑趨于無窮大，即ρ2→∞，本文中凸輪與平底從動件采用同種材料制成，故赫茲公式變為：

(4)

式中：E為凸輪與平底從動件采用同種材料的彈性模量，MPa；

ρ為凸輪實際輪廓線的曲率半徑，mm；

μ為凸輪與平底從動件采用同種材料泊松比。

4接觸應力所需參數確定

圖1　頂置配氣凸輪機構

頂置配氣凸輪機構如圖1所示。某型號發動機進氣門質量m1=48.2g，平底從動件質量m2=17.3g，氣門彈簧質量m3=32.2g，氣門彈簧剛度K=50N/mm，預緊力F0=260N，接觸線長度為b=12mm。本文所示例的為常見的鋼制凸輪機構，則有：μ=0.3，E=206GPa。由于該機構的從動件是平底的，可知壓力角為0，則彈簧作用于凸輪上的力即為凸輪與平底從動件接觸處法向載荷，即：

Fn=K·s+F0+m·a

(5)

m=m1+m2+m3/3

(6)

式中：a為從動件的加速度(m/s2)。

而凸輪實際輪廓線的曲率半徑ρ，為凸輪轉角α的函數。由高等數學可知，凸輪輪廓理論廓線曲率半徑用極坐標形式表示為：

(7)

式中：R為矢徑。

5編輯MATLAB程序

利用MATLAB軟件編輯凸輪工作段函數系數求解、從動件升程曲線、不同轉速下的從動件速度曲線、不同轉速下的從動件加速度曲線以及不同轉速下凸輪轉角α與凸輪接觸應力σH的關系曲線的程序[9]。部分程序代碼如下：

clc

clear

syms x C4 C5 C6 C7 C8 C9

format long

s=C4*x^5+C5*x^4+C6*x^3+C7*x^2+C8*x+C9;

s1=diff(s,x);

s2=diff(s,2,x);

s11=subs(s,x,15);

s12=subs(s1,x,15);

s13=subs(s2,x,15);

s14=subs(s,x,80);

s15=subs(s1,x,80);

s16=subs(s2,x,80);

A=[s11;s12;s13;s14;s15;s16];

B=double([subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[1,0,0,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,1,0,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,1,0,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,1,0,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,0,1,0]),...

subs(A,[C4 C5 C6 C7 C8 C9],[0,0,0,0,0,1])]);

D=[0.12;0.012;0;8;0;-0.012];

rank(B,D)

..........

aa33=(xx(1)*20*w22^2*n3.^3+xx(2)*12*w22^2*n3.^2+xx(3)*6*w22^2*n3+...

xx(4)*2*w22^2)/1000；

f33=k*s3+f0+m*aa33；

q33=sqrt(f33*E./(2*pi*b.*p3*(1-u^2)))；

plot(n3,q33,′-.k′)；

hold on

legend(′800r/min′,′1500r/min′,′3500r/min′);

set(gca,′xtick′,0∶10∶160,′ytick′,240∶10∶330);

xlabel(′凸輪轉角 /alpha(度)′);

ylabel(′接觸應力/sigma_H(MPa)′);

6從動件的升程、速度、加速度和凸輪接觸應力分析

圖2　從動件升程曲線

運行上述編輯的MATLAB程序，生成從動件升程曲線，如圖2所示；發動機在轉速變化時，不同轉速下的從動件速度曲線，如圖3所示；不同轉速下的從動件加速度曲線，如圖4所示；不同轉速下凸輪轉角α與凸輪接觸應力σH的關系曲線，如圖5所示。

圖4　不同轉速下從動件加速度曲線

從上述圖可以看出，當發動機運行轉速分別為800 r/min、1 500 r/min、3 500 r/min時，從動件最大速度都發生在53°處，分別為0.877 m/s、2.117 m/s和3.731 m/s；最小的速度都發生在107°處，分別為-0.877 m/s、-2.117 m/s和-3.731 m/s；最大加速度發生在31.5°和128.5°處，分別為116.13 m/s2、467.11 m/s2和2 638.16 m/s2；最小加速度發生在80°處，分別為-212.72 m/s2、-717.11 m/s2和-4 028.51 m/s2。可知隨著轉速的增加，從動件最大速度和最大加速度越來越大；最小速度和最小加速度越來越小。

圖6　最大接觸應力處局部放大圖

從圖5和圖6中可以發現，在0°和160°處，接觸應力最小為266.45 MPa，因為此時凸輪所受的載荷只有彈簧的預緊力和氣門組件較小的慣性力；最大接觸應力發生在凸輪的桃尖處，分別為322.96 MPa、322.94MPa和322.93 MPa，可知隨著轉速的增加，最大接觸應力有減小的趨勢，但趨勢并不明顯。

7結論

本文通過應用MATLAB強大的數據處理功能，示例了一種配氣凸輪型線設計和接觸應力分析的方法，得出以下結論：

選擇適當的凸輪型線函數，將預期的從動件運動參數設置為邊界條件，并設置從動件的質量與剛度和不同轉速參數，應用MATLAB編程，可快速生成從動件的位移和不同轉速下從動件速度、加速度和凸輪接觸應力曲線；通過改動設計參數值，可再次快速的完成設計計算，顯著提高配氣凸輪設計的速度和精度，并為凸輪機構的優化提供理論依據。

參考文獻

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[7]廖海平，劉啟躍，陳興，楊軍. 基于MATLAB直動滾子凸輪接觸應力計算[J].機械設計，2008，25(6)：49-51.

[8]羅慶生,韓寶玲.基于擠壓應力條件的凸輪基圓半徑的設計理論與方法[J].機械設計,2000，17(6):33-35.

[9]郭仁生.機械工程設計分析和MATLAB應用[M].北京:機械工業出版社,2012.

Profile design and contact stress analysis of automotive engine valve cam based on MATLAB

CHEN Chen，WANG Ziqin，TIAN Fengguo，CHEN Jiadui，XU Yuliang

Abstract:In the process of the profile design for automotive engine valve cam, by selecting appropriate profile function, setting the boundary conditions of expected follower motion, deriving cam contact stress formula, and then through MATLAB programming, the curves of pre-follower lift, velocity, acceleration, and the cam contact stress can be generated. The MATLAB program involved in this paper is projected to quickly complete the design and analysis of cam contact stress. Application of this method can significantly increase the speed and precision of valve cam design，and provide theoretical basis for the optimization of cam mechanism.

Keywords:valve cam; profile design; MATLAB；contact stress

收稿日期：2015-07-06

作者簡介：陳晨(1990-)，男，河北邯鄲人，碩士，機械設計及理論專業，主要研究方向：現代設計方法。

基金項目：貴州省科技廳貴州大學聯合基金(黔科合LH字[2014]7626)。

中圖分類號：TH112.2

文獻標識碼：A

文章編號：1002-6886(2016)01-0023-04