芻議高中數學中求二面角的學習技巧

張雨嫣●

湖南省長沙市麓山國際實驗學校(410000)

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芻議高中數學中求二面角的學習技巧

張雨嫣●

湖南省長沙市麓山國際實驗學校(410000)

二面角的求解是高中三維立體幾何中，難度比較大的一類，這一向是我們高中數學學習過程中的重點與難點，也是歷屆高考中經常出現的考點之一.在解決這類題目時，由于題中給出的幾何圖形千姿百態，使得我們很難對二面角做出判斷，從而影響解題的速度與質量.本文針對立體幾何中出現的有無棱的二面角題型，提出了不同解題過程中的技巧，并強調了向量法在解決二面角問題中的重要性.

立體幾何；二面角；學習技巧

二面角是歷年高考中必要的考點之一，同一考點所呈現出的題型和幾何情景及模型等種類非常多，常見的有二面角中兩個平面不在同一個水平位置，或者是兩平面形成的二面角為鈍角.解題過程中平面角的做法，通常一共有三種：垂面法、定義法和三垂線法.在具體的題目中，如何選擇合適的方法是我們面臨的主要問題之一，在往年的高考題目中，三垂線法是解決二面角問題的主要方法，其方法的難點在于如何確定垂足的位置，來做出合適的垂線.

一、已知棱二面角求法

通過平面內的一條直線，將平面分成兩部分，這兩部分都可稱作半平面.該直線為棱，兩個半平面沿此棱所形成的圖形稱作二面角，每個半平面稱作二面角的面.二面角的平面角度是衡量二面角大小的標準，平面角度為多少度，所對應的二面角即為多少度.二面角為九十度時被稱為直二面角.對二面角概念的認識是解決問題的關鍵.在二面角棱已知的問題中，首先要審清題目，如果題目中已經出現了二面角的平面角度，首先要解決的就是證明該角就是二面角，隨后求出相應值即可.而且應注意輔助線并不是必須的，在通過觀察確定沒有很明顯的二面角情況下，再作輔助線或者輔助面可有效解決問題.作輔助線或面首先要考慮的是其對更加便捷證明或解決二面角問題具有幫助，這是解決題目的關鍵所在，不能盲目地作出輔助線或面.在做輔助線或面時，要注意從定義出發，在二面角棱上取恰當一點，隨后過該點在兩個半平面內作垂直于棱的兩條射線，該射線所形成的夾角即為二面角的大小.如果以定義為出發點，很難解決二面角問題的時候，可以適當地選用“垂面法”或者“三垂線法”將原本兩面的二面角問題轉化成其它二面角或者有關的角度問題來進行解決.垂面法是首先作一個垂直于棱的平面，該平面與二面角的兩半面相交于兩條直線，兩直線形成的夾角即為二面角的大小.三垂線法是利用三垂線的逆定理，通過證明三線相互垂直做出二面角的平面角，關鍵是如何找出面的垂直.

二、未知棱二面角的求法

在很多二面角的題型中，題干沒有給出二面角棱的稱之為無棱二面角.解決該類問題的關鍵是如何找出二面角的公共棱，進一步將無棱二面角問題變成有棱二面角問題來解決.根據我們遇到的題目，我總結有以下幾種轉化的方法.

1.平行線法

平行線法依據的是平面與直線相互平行的性質.在二面角其中一個半面內作出一條直線與另一個半平面相互平行，再作一通過兩直線公共點的直線平行于上一條直線，則該直線即為兩平面的棱.

2.平移法

平移法的依據是若存在一個平面與兩個平行的平面相交，則兩兩平面形成的角相等或者互補.解題步驟是首先將二面角其中一個半平面平移至合適的位置，最終得到一個與要求的二面角互補或相等的二面角，然后根據上述二面角解決方法求解出具體的值.

3.兩點法

兩點確定后一條直線，然后確定所求二面角的棱，最后根據二面角解題方法確定二面角的值.

4.垂面法

已知兩個平面均垂直于第三個平面，則兩平面的交線必定垂直于第三個面.所以，解題時先做出一個平面能夠垂直于兩個半平面，則第三個平面與二面角兩個半面的交線形成的角則為該二面角的平面角.

三、向量法求二面角

在利用向量法解決二面角的問題時，要首先保證x，y，z三個軸能夠兩兩相互垂直，而且建立的坐標系要保證有利于向量問題的解決.利用向量時主要有以下兩種方法，首先，可以從二面角的棱分別在兩個半面內作兩條向量，保證兩向量垂直于棱，則兩個向量的夾角即為所求二面角的大小.或者找出兩個半平面的法向量，則兩個半平面法向量的夾角即為所求二面角的大小或補角.向量法解決問題時思路比較簡單，易于理解，但是運算起來比較復雜，容易出錯.

綜上所述，通過對我們學習過程中立體幾何問題的總結，整理出了兩種常見的立體幾何模型，并對其二面角大小的解法進行了分析討論.除了文中介紹的幾種，我們還可以有效地利用等積法和射影面積法等解決二面角的題目，綜合運用以上幾種方法，可以較好地提高我們的問題推理能力，有效地解決平常遇到的二面角問題，對我們的高中數學學習具有一定的幫助.

[1] 蘇承湖，陳永民.三棱錐的側棱所成的角與側面所成二面角的關系[J].數學通報， 2006，6

[2] 余繼光.一個空間模型中立體幾何問題的教學案例[J].數學教學，2003，4

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