高等數學解題應用構造函數法的分析

廣東省廣州市花都區廣播電視大學 廣東省廣州市花都區經濟貿易職業技術學校 賴景東

高等數學解題應用構造函數法的分析

廣東省廣州市花都區廣播電視大學 廣東省廣州市花都區經濟貿易職業技術學校 賴景東

在高等函數中，應用構造函數法解題是一種重要的解題方法，本文對構造函數的常用方法及其在高等數學中的應用進行了分析，以證明等式、不等式、微分求解、函數方程的根及函數極限等方面作為重點，對構造函數法進行了全面的論述。

構造；拉格朗日中值定理；函數方程；等式

構造函數法，是一種特殊的方法。主要用來在創建對象時初始化對象，即為對象成員變量賦初始值，也是高等函數中的一種重要思想，它涵蓋了高等數學的各個方面，下面我們舉例分析。

一、拉格朗日中值定理

分析法指的是通過對結果一步一步地倒推，構造輔助函數，幫助分析，最終通過對重新構造函數的分析證明得出結論的過程。

拉格朗日中值定理的證明：輔助函數法：

已知f（x）在ab閉區間內連續，開區間內可導，然后構造輔助函數g（x），代入（a，g（a）），（b，g（b）），可以得到，g（a）=g（b）=f（a），有因為f（x）在閉區間內連續，在開區間可導，所以，根據羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理的存在性，代入后進行化簡和移項可證明定理存在。

［注：微分學中的基本定理之一的拉格朗日中值定理又名拉氏定理，它反映了可導函數在區間內某點的局部變化率與閉區間上的整體的平均變化率的關系。羅爾中值定理的推廣式，同時柯西中值定理的特殊情形也是拉格朗日中值定理，它還是泰勒公式的弱形式（一階展開），在大多數不等式證明以及部分微分題中，此原理都有廣泛運用。］

二、證明不等式

1.通過單調性證明不等式的存在性

單調性是指，在一定的定義域內，函數的增減性，它能夠準確地說明函數在定義域內在值域上的映射變化，在解決不等式問題時，我們可以根據增減性來判斷極值點的位置，進而證明不等式的存在性。

例1：證明：當x＞0時，x＞ln（1+x）

分析：通過觀察不等式的結構，我們可以了解到，兩個初等函數構成了這個不等式，因為初等函數的微分依舊是初等函數，所以我們可以想到利用做差法來構造輔助函數，f（x）=x-ln（1+x），通過求導新構造函數可以得出相應的極值以及在區間內的單調性，并由此得出結論。

構造輔助函數的方法就是做差法，它通過移項，做差構造新的函數，并通過求導構造的新函數證明單調性，得出極值，從而解決問題。

2.用拉格朗日中值定理證明不等式

高等數學中，拉格朗日中值定理可以證明許多不等式題目，大多數題目在使用拉格朗日中值定理前都需要進行化簡和恒等變形，如果經過恒等變形之后不等式符合拉格朗日中值公式的條件，就需要考慮使用公式來解決問題。

例2：證明：當x＞1時，ex＞ex。

分析：初步觀察不等式，看似毫無頭緒，但仔細分析后我們可以發現x∈（1，x'）（x'＞0）在此區間，應用中值定理，肯定會出現式子ex′-e，原不等式就可以變形為ex-e＞e（x-1）=ex-e/x-1＞e，通過觀察可以發現不等式在變形之后滿足拉格朗日中值定理的應用條件，于是我們在區間內設輔助函數f（x）=ex，由于它在區間內滿足拉格朗日中值定理的條件，所以用拉格朗日中值定理即可證明不等式的存在。

3.用最大最小值證明

當不等式求導后得到的數值在區間內符號不同需要分段討論時較為麻煩，因此不能夠用單調性來證明，所以我們可以考慮用最值證明。

三、構造函數求極限

構造輔助函數能夠簡化函數，對于一些較為復雜的函數，我們沒有辦法應用現有知識進行解決，因此，在解決題目的過程中遇到較為復雜的函數時，我們應該先對現有函數進行觀察，化簡，在符合構造函數條件的情況下通過構造函數來求極限。

例3：設f（x）=1/x+1+1/x+2+…+1/x+x，求limx→∞f（x）

分析：此題的函數結構如果用其他方式較為麻煩，而且每一項的格式并不相同，因此，我們考慮對每一項進行變形，構造相應的輔助函數對其進行統一和簡化，再通過對黎曼積分的使用，困難程度就減輕了，因為：通過極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中。

結論：當遇到較為困難且復雜的題目時，我們需要先對其構造輔助函數，使其滿足黎曼積分的應用條件，并易于考慮題目進一步的計算，通過極限思想，我們得到了黎曼積分，所以很容易把它反用于極限的求解過程中，再通過運用我們已學的有關積分知識就可求得極限值。

四、構造函數求方程的根

解方程事實上就是使f（x）=0，就是求函數f（x）的零點，所以許多都要通過移項或簡化來構造輔助函數，使之易于解決后，再應用相對應的原理來解決問題。

例4：已知f（x）在［0，1］上非負連續，且f（0）=f（1）=0，求證：對任意的實數a（0＜a＜1），必存在x0∈［0，1］，使得x0+a∈［0，1］且f（x0）=f（x0+a）。

分析：

只要能夠證f（x0）=f（x0+a），即可證f（x0）-f（x0+a）=0，構造輔助函數F（x）=f（x）-f（x+a）使其在x0處取得的函數值為0，由此可以證明。

五、計算積分及函數值

例5：設在［0，1］上，|f''（x）|＜=M，且f（x）在（0，1）內取得最大值，證明|f'（1）|+|f''（0）|＜=M.

f（x）在（0，1）內取得最大值說明存在k屬于（0，1）

使f'（k）=0

利用中值定理得f'（1）-f'（k）=（1-k）f''（a）

其中a是（k，1）中的某數

所以|f'（1）|=|（1-k）f''（a）|＜=1-k

同理可證|f'（0）|＜=k

相加即得要證的方程

六、構造函數解決數列問題

數列變形之后首先進行觀察，查看數列是否符合構造函數的條件，若符合，根據數列自身的性質以及形態構造特定函數進行求解。

七、證明恒等式

日常解題過程中，我們經常運用拉格朗日中值定理來解決恒等式問題，在符合條件的情況下，拉格朗日中值定理相對于其他方法而言較為便捷。移項過程中，我們通常將含有未知量的方程放在等式左邊，將常量放在等式右邊。

例6：證明恒等式arcsinx+arccosx=π/2（-1≤x≤1）

f（x）=arcsinx+arccosx在［-1，1］連續，在（-1，1）可導

由拉格朗日中值定理可知，

一定能夠在［-1，1］中找到一個c點，使得f（c）=［f（1）-f（-1）］/（1-（-1））又這個式子可以計算得π/2。

拉格朗日中值定理的推論是：如果函數f（x）在區間I上的導數恒為零，則f（x）在區間I上是一個常數（arcsinx）’，所以，f’（x）=0成立。

通過對以上實際問題的舉例分析，我們了解到了高等數學中，函數構造法的廣泛應用，它能夠通過簡化函數形式，使較為復雜的問題更加容易解決，并且能夠應用于不等式的證明，拉格朗日中值定理還有微分求解以及數列問題的解決，并且能夠“大事化小，小事化了”，縮短解題時間，降低解題所需要耗費的精力。

［1］張平芳.淺談高等數學中的構造函數方法［J］.咸寧師專學報，2011（26）.

［2］羅榮.輔助函數在高等數學中的應用［J］.新疆師范大學學報，2011（17）.

［3］郭靜莉.構造函數法在高等數學解題中的應用［J］.赤峰學院學報，2011（25）.