時標上具有多時滯的二階中立型方程的振動性

邸聰娜，李麗華，張靈敏

(河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

時標上具有多時滯的二階中立型方程的振動性

邸聰娜，李麗華，張靈敏

(河北科技師范學院數學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

中立型方程是一類重要的微分方程，其振動性理論在計算機、生物等許多領域中都有著非常廣泛的應用，本研究考慮了時標T上具有正負系數和多個變時滯的二階中立型動力方程，針對P(t)的不同取值，給出了方程的若干振動準則。

中立型方程；多時滯；振動性

中立型方程是一類重要的微分方程，其振動性理論在計算機、生物等許多領域中都有著非常廣泛的應用，尤其近年來，計算機科學研究中出現了一些同時具有正負系數的中立型方程的模型，使得這類方程的研究日益受到重視。而自從Stefan Hilger提出時標理論[1]，對導數積分賦予了新的定義，很多學者便致力于時標上中立型動力方程的研究[2～8]。

筆者考慮了時標T上具有正負系數和多個變時滯的二階中立型動力方程

(1)

對于方程(1)的特殊情形，許多文獻已做過研究，如邸聰娜等[5，6]分別研究了線性中立型方程

[x(t)+P(t)x(τ(t))]ΔΔ=q(t)x(g(t))

及具有振動系數的線性方程

而后邸聰娜等[7]又研究了方程

的振動性。受到以上結果的啟發，筆者針對P(t)的不同取值分別進行討論，給出了具有多變時滯動力方程(1)的振動準則。

1 基本假設和引理

假設supT=∞，fi，gj∈C(R，R)，且定義[t0，∞]T={t∈T，t0≤t<∞}，并且考慮如下假設：

(H1) 存在αi>0,βj>0，使得fi(u)/u≥αi(u≠0),gj(u)/u≤βj(u≠0)。

記

y(t)=x(t)+P(t)x(τ(t))

(2)

(3)

引理1 設(H1)，(H2)成立,0≤P(t)≤1,x(t)為方程(1)的一個最終正解，則存在t1≥t0，當t≥t1時，有z(t)>0,zΔ(t)≥0,[A(t)zΔ(t)]Δ≤0,zΔΔ(t)≤0,x(t)≥[1-p(t)]y(t)≥0。

證明 由于x(t)是方程(1)的一個最終正解，即存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))=x(γ(t))>0,x(δj(t))>0,從而y(t)>0，因此z(t)>0(t≥t1)。

由于方程(1)，(2)，(3)及(H1)和(H2)，可得

(4)

(5)

事實上，若存在t2≥t1，使得zΔ(t2)<0，則當t≥t2時，由(5)式有

A(t)zΔ(t)≤A(t2)zΔ(t2)<0

兩邊積分得：

而由[A(t)zΔ(t)]Δ=AΔ(t)zΔ(t)+A(t)zΔΔ(t)，及(5)式知，zΔΔ(t)≤0。

由0≤P(t)≤1及(2)式知,y(t)≥x(t)(t≥t1),于是

y(t)≤x(t)+P(t)y(τ(t))≤x(t)+P(t)y(t)

從而有x(t)≥[1-P(t)]y(t)≥0。證畢。

2 主要結果和證明

(6)

則方程(1)是振動的。

證明 假設x(t)是方程(1)的一個最終正解(最終負解的情況類似可證)，即存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。所以，由引理1和(4)式知,yΔ(t)>0(t≥t1),即y(t)為單調增函數。由0≤P(t)≤1及(2)式知，y(γ(t))≥x(γ(t))(t≥t1)。于是

y(γ(t))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(τ(γ(t)))≤x(γ(t))+P(γ(t))y(γ(t))

從而x(γ(t))≥[1-P(γ(t))]y(γ(t))≥0，代入(5)式，由(6)式得

[A(t)zΔ(t)]Δ≤-ψ(t)y(γ(t))≤0

(7)

由y(t)>0,yΔ(t)>0(t≥t1)知，存在常數λ>0及t2≥t1，使得y(γ(t))≥λ>0(t≥t2)，于是由(7)式得：

[A(t)zΔ(t)]Δ+λψ(t)≤0

(8)

證明 設x(t)為方程(1)的無界非振動解，假設x(t)>0(當x(t)<0時類似可證)，則存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(γi(t))>0,x(δj(t))>0。

由-1≤P(t)≤0得y(t)≤x(t)(t≥t1)，且可推得y(t)≥0(t≥t1)。事實上，倘若不然，即y(t)<0，則x(t)=y(t)-P(t)x(τ(t))<-P(t)x(τ(t))≤x(τ(t))，這與x(t)無界矛盾！因此y(t)≥0。

由方程(1)和(H1)，(H3)，(H4)得

且{A(t)yΔ(t)}Δ最終不恒為0，從而A(t)yΔ(t)單調減且能斷言yΔ(t)≥0(t≥t1)。

由于y(t)不能為0，所以由y(t)≥0，yΔ(t)≥0(t≥t1)可知存在常數M>0及t2≥t1，當t≥t2時，

y(γ(t))≥M。當y(γ(t))≤x(γ(t))時，有

這與A(t)yΔ(t)≥0(t≥t1)矛盾。證畢。

3 結 論

本次研究考慮了具有多個時滯的中立型動力方程，通過對系數的不同取值范圍的討論，給出方程的若干振動準則，推廣了已有文獻的結果，完善了時標上中立型方程的振動理論。

[1] Bohner M,Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications[M].Boston：Birkh?ser,2001.[2] Bohner Martin,Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

[3] Liu Ailian,Wu Hongwu,Zhu Siming.Oscillation for nonautonomous neutral dynamic delay equations on time scales[J].Acta Mathematica Scientia，2006,26B(1):99-106.

[4] 陳大學,劉潔純.具有分布時滯的二階非線性中立型時標動力方程的振動定理[J].系統科學與數學, 2010,30(9)：1 191-1 205.

[5] 邸聰娜,邵麗麗,呂金鳳,等.時標上二階線性中立型動力方程有界解的振動準則[J].河北科技師范學院學報,2009,23(3):58-61，76.

[6] 邸聰娜,李民良,郭雅彩,等.時標上具有振動系數的中立型動力方程非振動解的存在性[J].河北科技師范學院學報,2010,24(1):53-55.

[7] 邸聰娜,邵香媛,王玉寬.時標上的一類二階中立型方程正解的存在性[J].河北科技師范學院學報,2015,29(2):31-35.

[8] Bohner Martin, Stevic＇ Stevo.Asymptotic behavior of second-order dynamic equations[J].Applied Mathematics and Computation,2007,188:1 503-1 512.

(責任編輯：朱寶昌)

Existence of Positive Solution for Second-Order Neutral Dynamic Equations on Time Scales

DI Congna, LI Lihua, ZhANG Lingmin

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei, 066004, China)

Neutral equation is an important class of differential equations and its oscillation theory has been widely applied in computer, biology and many other fields. The second-order neutral dynamic equation with positive/negative coefficients and multi-delays was considered to set up several oscillation criteria of the equation according to different values ofP(t).

neutral equation; multi-delays; oscillation

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2016.02.011

2016-01-22; 修改稿收到日期: 2016-04-12

O175.12

A

1672-7983(2016)02-0059-03

邸聰娜(1983-)，女，講師。主要方向：微分方程的振動性與穩定性。