HR神經元模型的放電節律分析

孟盼,董健衛

(廣東藥學院 基礎學院,廣東 廣州 510006)

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HR神經元模型的放電節律分析

孟盼,董健衛

(廣東藥學院 基礎學院,廣東 廣州 510006)

摘要:目的 研究HR神經元的復雜動力學行為。方法 運用非線性動力學方法,研究外界電流對神經元放電模式的影響。特別地，基于快慢動力學分析,探討簇模式和峰模式不同的產生機理。結果 數值分析結果揭示了簇振蕩和峰振蕩模式存在的區域,此外,還發現了分岔序列結構。結論 為進一步研究外界激勵對神經元復雜放電模式的影響提供了線索。

關鍵詞:HR神經元; 簇振蕩; 峰振蕩; 快慢動力學分析; 分岔

1984年,Hindmarsh和Rose提出了描述神經元活動的HR模型[1]。該模型是對神經元放電模式的一個數學表達,并且具有相對簡單形式[2]。 已有的研究表明,當內部參數改變或外部激勵改變時,HR神經元的膜電位呈現靜息—發放—靜息的發放模式[3],并且具有豐富的放電模式,這其中就包括簇振蕩(bursting)和周期峰振蕩(spiking)等放電模式[4-5]。 鑒于不同的放電模式具有不同的動力學特性和生物意義[6],因此理解這些放電模式產生的動力學機理在信息傳遞中非常重要,快慢動力學分析方法就是用來解釋簇振蕩產生機理的一個有力工具[7-9]。

本文以HR神經元模型為研究對象,通過數值模擬和分岔分析,指出HR模型可以呈現不同的發放模式,具體為: 靜息—發放—靜息—再發放—再靜息,即系統可以產生前后2次發放,這和已有結果不同。我們進一步分析了2次發放模式的具體類型和動力學機理,探討了外界直流刺激對放電模式的影響。 研究結果可應用于討論其他類似的神經元模型,并對神經元電生理實驗有一定的指導作用。

1HR神經元模型描述

由3個變量組成的HR神經元模型如下

(1)

(2)

(3)

這里,x表示神經元的膜動作電位,y表示與快電流(如Na+,K+)相關的恢復變量,z表示與由Ca2+激活的K+離子電流相關的慢變調節電流。a,b,c,d為系統參數,r為時間動力學常數,χ為與Ca2+有關的反轉電位,I表示外界直流刺激,這里作為控制參數。 膜電位和電流的單位分別mV和 A/cm2。 為了簡單起見,下文的參數在敘述時將不再敘述單位。 在本研究中，具體參數取值為：a=2,b=2.5,c=1,d=5,s=4,r=0.01,χ=-1.6。 由于r是一個小常數,因此變量z的變化要比其他變量慢很多,故整個系統(1)-(3)可以分為快子系統和慢子系統[5,7]。 方程(1)-(2)構成快子系統,慢變量z作為快子系統的分岔參數。

2HR神經元的放電模式

首先,考慮全系統(1)-(3)的平衡點和極限環,如圖1所示。 實線(虛線)代表穩定(不穩定)狀態; 黑線(紅線)代表平衡點(極限環)。 可以看出,在平衡點的分岔曲線上共有4個Hopf分岔點,分別記為H1、H2、H3和H4。 在第一個分岔點H1=2.747時,穩定平衡點變為不穩定,同時產生穩定極限環(如右下角局部放大圖所示),因此這個點為supHopf分岔點[8],系統開始第1次發放。 隨著參數I的增加,穩定的極限環依次經過4個倍周期分岔點LC1、LC2、LC3和LC4后,其穩定性保持不變,最終經過第2個supHopf分岔點H2=5.391時,系統回到穩定的靜息狀態。 當控制參數I持續增加到第3個supHopf分岔點H3=6.984時,穩定的靜息態又一次被破壞,系統開始第2次發放。 穩定的極限環經過最后1個supHopf分岔點H4=8.348消失,系統回歸到靜息狀態。 因此全系統的狀態依次為: 靜息態—發放—靜息態—再發放—再靜息。 下面解釋前后2次不同發放模式的具體類型。

當控制參數I位于H1和H2之間時,系統(1)-(3)呈現第1次發放。 圖2(a) 給出了相鄰動作電位的峰峰間期序列ISIs關于I的分岔圖[4]。 從圖2可

1.00.50-0.5-1.0-1.5H1LC3024681012LC2LC4LC1H2H3H4H1Ix

圖1HR神經元(1)-(3)關于電流I的分岔結構圖。 右下角為點H1附近的局部放大圖

Figure 1Bifurcation diagram for the system (1)-(3) vs the external currentI

120100806040200ISIs121086420ISIs3.03.54.04.55.05.5I(a)(b)

圖2 (a) HR神經元關于電流I的峰峰間期(ISIs)分岔圖,

I∈[H1，H2]; (b) 簇中的峰的ISIs分岔圖

Figure 2(a) Bifurcation diagram ofISIsvs the external currentI,and (b)ISIsfor the spikes within per bursting

以看出,系統整體呈現簇放電模式,并且簇與簇之間的靜息態呈現先減少后增加的趨勢。 圖2(b) 是圖2(a)的局部放大圖,即簇中的峰關于參數I的ISIs分岔圖。 從圖2(b)可以看出,隨著外界直流電I的增加,神經元的放電節律經歷了加周期分岔,依次產生了周期-2簇放電,周期-3簇放電,而后周期個數逐步增加,直至周期-10簇放電。 為了更清楚地觀察簇放電模式,分別取I=2.8,3,4,5，在圖3上給出了對應的膜電位的時間歷程的進展。 可以看出,隨著外界激勵I的增加,神經元的放電節律從簇內僅含有2個峰的簇放電激變為簇內含有多個峰的簇放電。

接下來研究簇模式的類型。 以控制參數I=4為例,利用快慢動力學分岔方法進行分析[7],如圖4所示。 快子系統的平衡點的分岔曲線是一條Z形曲線,其上支、中支和下支分別由焦點,鞍點和結點組成。 可以看出,上支的穩定焦點(實線)經由點H1處的supHopf分岔而失穩(虛線),同時產生了穩定極限環; 隨著慢變量z的增加,穩定極限環經由supHopf 分岔H2消失而轉變為穩定焦點(實線)。 全系統(1)-(3)的軌線以及慢子系統(3)的零傾線(藍線)也都疊加在分岔圖上。

20-220-220-220-2100150200250300350400450500050xt

圖3外界直流刺激I=2.8、 3、4、5時,振蕩模式由周期-2的簇放電模式轉變到周期-10的簇放電模式

Figure 3Firing patterns changes from period-2 into period-10 bursting with the external currentI=2.8,3,4 and 5

1.00.50-0.5-1.0-1.5H1xH2F2F13.84.04.24.44.64.85.05.2z

圖4外界直流電I=4時,快子系統(1)-(2)關于參數z的分岔圖

Figure 4Bifurcation diagram of the fast subsystem (1)-(2) vs the slow variablezwithI=4

慢子系統的零傾線和Z形曲線的中支相交,產生了一個雙穩區域[10]。 該雙穩區域由下支的穩定結點和從H1產生的穩定極限環所構成,因此系統處于簇振蕩放電模式。 全系統軌線沿著Z形曲線下支,經由鞍結分岔點F1消失而轉遷到Z形曲線上支穩定極限環附近,這意味著簇振蕩由靜息態轉遷為放電狀態,繼而由于穩定極限環經由supHopf分岔點H2轉變為穩定焦點,最后經由鞍結分岔F2轉遷到Z形曲線下支的靜息狀態。 根據快慢動力學分析的分類方法,此簇放電模式稱為“fold/Hopf”型簇放電[8]。

除了上述這2種與放電狀態產生或結束有關的分岔外,還有引起滯后環產生的分岔,即從簇放電的下狀態轉遷到上狀態的分岔為點F1處的鞍結分岔和從簇放電的上狀態轉遷到下狀態的分岔為點F2處的鞍結分岔。 因此當控制參數I位于H1和H2之間時,系統表現出經由“fold/fold”滯后環的“fold/Hopf”型簇放電的動力學性質[9]。

當控制參數I位于H3和H4之間時,系統(1)-(3)呈現第2次發放。 從圖1可以看出,穩定極限環的振幅很小,一般來說,這時系統產生連續峰振蕩模式[10]。 以控制參數I=7.5為例,圖5 (a)和圖5(b)為時間序列圖和相應的快慢動力學分析。 和圖4相比較,慢子系統的零傾線和快子系統的穩定極限環相交,導致雙穩區域消失,故全系統的軌線趨近于唯一的吸引子——穩定極限環,因而產生連續峰放電而不是簇放電模式[10]。

1.00.80.60.40.2010203040500z1.00.50-0.5-1.0-1.5xxz7.07.58.08.59.0H1H2F2F1(a)(b)

圖5(a)外界直流電I=7.5時,連續峰放電模式；

(b) 相應的快慢動力學分析

Figure 5(a) Continuous spiking withI=7.5,and

(b) corresponding fast-slow analysis

3結論

本文研究了HR神經元的放電節律。 首先,利用全系統的單參數分岔分析指出在合適的參數條件下,系統存在著2個不同的振蕩區域,即分別為簇振蕩區域和峰振蕩區域; 其次,利用快子系統的單參數分岔分析并結合慢變量的零傾線來解釋簇振蕩和峰振蕩產生的機理,并指明了簇振蕩模式的類型。 特別地,利用峰峰間期分岔圖探討了外界直流輸入對簇振蕩模式的影響,結果表明系統存在著加周期現象。 以上這些結論將有助于進一步了解外界激勵對神經元放電模式的影響。

參考文獻:

[1] HINDMARSH J L,ROSE R M.A model of neuronal bursting using three coupled first-order differential equations[J].Proc R Soc Lond B,1984,221(1222):87-102.

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[10] TERMAN D.The transition from bursting to continuous spiking in excitable membrane models[J].J Nonlinear Sci,1992,2:135-182.

(責任編輯：王昌棟)

Firing rhythm analysis in HR neuron model

MENG Pan,DONG Jianwei

(SchoolofBasicCourses,GuangdongPharmaceuticalUniversity,Guangzhou510006,China)

Abstract:Objective To study the complex dynamical behavior of HR neuron. Methods The influence of external current on the firing patterns was investigated with the method of nonlinear dynamics. Especially,based on fast-slow analysis,the generation mechanism of bursting and firing rhythm was explored. Results Numerical simulation revealed the different parameter domain for bursting and spiking individually. In addition,the structure of bifurcation sequence was obtained. Conclusion This study is instructive for understanding the role of outside stimulus played in complex neuron activities.

Key words:HR neuron; bursting； firing; fast-slow analysis； bifurcation

DOI:10.16809/j.cnki.1006-8783.2015112801

中圖分類號:Q42

文獻標志碼:A

文章編號:1006-8783(2016)01-0115-04

作者簡介：孟盼(1981—),女,博士,講師,主要從事神經動力學研究,Email: mengpan200e@163.com。

基金項目：國家自然科學基金項目(11402057)；廣東省普通高校青年創新人才項目(2014KQNCX137)

收稿日期：2015-11-28

網絡出版時間：2016-01-07 11:58網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/44.1413.R.20160107.1158.001.html