隨機多種群互惠系統的動力學行為

王麗順，李海紅，李海霞

(1.中國國防科技信息中心，北京 100142；

2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024；

3.吉林建筑大學基礎科學部，吉林 長春 130024；

4.長春光華學院商學院，吉林 長春 130024)

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隨機多種群互惠系統的動力學行為

王麗順1，李海紅2，3，李海霞4

(1.中國國防科技信息中心，北京 100142；

2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024；

3.吉林建筑大學基礎科學部，吉林 長春 130024；

4.長春光華學院商學院，吉林 長春 130024)

[摘要]研究了帶有隨機擾動項的多種群互惠系統，證明了系統解的存在唯一性，給出了時間均值意義下的持久性概念，并指出所討論系統在此意義下是持久的.

[關鍵詞]隨機微分方程；李亞普諾夫函數；平穩分布；持久性

互惠行為廣泛存在于各種生物種群中，因其普遍性和重要性，使得對共生生物之間動態關系的研究一直占據著生態學研究的主導地位.[1-6]著名的種群動態模型——Lotka-Volterra互惠系統，已受到眾多學者的大量關注和廣泛研究.[5-6]

眾所周知，Lotka-Volterra互惠系統可描述為

(1)

(2)

Goh[7]研究了兩個種群的互惠系統，其模型為

還有很多學者研究了互惠系統及其延展形式，如考慮時滯對互惠系統的影響等.[8]本文考慮隨機互惠系統(1)的動力學行為.

1全局正解的存在性，唯一性

這里采用類似文獻[9]中的證明方法得到系統(1)全局正解的存在唯一性.

P{τ∞≤T}>ε，

結合τ∞的定義，則存在整數k1≥k0，當k≥k1時有

P{τk≤T}≥ε.

(3)

由于

從而

對上式兩端取期望可得

(4)

于是由(1.4)式可得

V(x(0))+KT≥E[1Ωk(ω)V(x(τk，ω))]≥

其中1Ωk表示Ωk的特征函數.令k→∞，上式顯然矛盾，因此τ∞=∞，a.s..定理1.1證畢.

2系統在均值意義下的持久性

在確定性系統中，文獻[10]給出了均值意義下持久性的概念.這里，我們對隨機系統也給出相應的定義.

定義2.1稱系統(1.1)在時間均值意義下是持久的，是指

我們做如下假設：

文獻[10]研究了隨機Logistic微分方程

得到如下結論.

由隨機比較定理可得

xi(t)≥φi(t)，i=1，2，…，n，a.s.，

其中φi(t)是如下方程的解：

(5)

另外，Gray等[11]研究了如下帶有隨機擾動項的SIS傳染病模型：

dI(t)=I(t)[(βN-μ-γI(t))dt+σ(N-I(t))dB(t)]，

(6)

其中B(t)是一維的標準布朗運動，I(0)=I0∈(0，N)，N是受傳染病傳染的人群數量.

當假設(P)滿足時，由引理2.1和引理2.2可知系統(5)存在平穩分布，并且

綜上，我們有下面結論.

即系統(1)在均值意義下是持久的.

[參考文獻]

[1]高芳.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者-食餌擴散系統的穩定性及最優稅收[J].東北師大學報(自然科學版)，2014，46(2)：1-8.

[2]于新艷.污染環境下具有Beddington-DeAngelis功能性反應的捕食者-食餌系統的動力學行為[J].東北師大學報(自然科學版)，2013，45(1)：6-12.

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[4]LI H H. Persistence and non-persistence of a food Chain model with stochastic perturbation[J/OL]. Abstract Appl Anal，2013[2014-04-29]. http://dx.doi.org/10.1155/2013/125089.

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[11]GRAY A，GREENHALGH D，HU L，A stochastic differential equation SIS epidemic model[J]. SIAM J Appl Math，2011，71：876-902.

(責任編輯：李亞軍)

Dynamic behavior of a stochastic multiple species mutualism system

WANG Li-shun1，LI Hai-hong2，3，LI Hai-xia4

(1.China’s National Defense Science and Technology Information Center，Beijing 100142，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；3.Department of Basic Science，Jilin Construction University，Changchun 130024，China；4.School of Business，Changchun Guanghua University，Changchun 130024，China)

Abstract:In this paper，we analyze a n-species mutualism stochastic system. First of all，a unique positive solution of the system is considered which is essential in any population dynamics model. Then，we deduce a condition to keep the system being persistent in sense of time average.

Keywords:stochastic differential equation；Lyapunov function；stationary distribution； permanent

[中圖分類號]O 175.14[學科代碼]110·34

[文獻標志碼]A

[作者簡介]王麗順(1966—)，女，博士，高級工程師，主要從事應用數學研究；通訊作者：李海紅(1983—)，女，博士，主要從事微分方程研究.

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11171350).

[收稿日期]2014-04-29

[文章編號]1000-1832(2016)01-0022-04

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.006