保形映射的一個充分必要條件

祝穎潤，曹俊飛，王瑞庭

(1.吉林大學(xué)珠海學(xué)院公共基礎(chǔ)課教學(xué)與研究中心，廣東 珠海 519041；

2.廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510310)

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·研究快報·

保形映射的一個充分必要條件

祝穎潤1，曹俊飛2，王瑞庭1

(1.吉林大學(xué)珠海學(xué)院公共基礎(chǔ)課教學(xué)與研究中心，廣東 珠海 519041；

2.廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510310)

[摘要]通過對保形映射和范數(shù)的研究，得到并證明了保形映射的一個充分必要條件.

[關(guān)鍵詞]分形；保形映射；范數(shù)

1預(yù)備知識

保形映射是一種保持所有交線之間的夾角不變的數(shù)學(xué)變換.保形映射是復(fù)分析和分形幾何的基本概念，在物理等領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用.[1-2]因此，判斷一個映射是否為保形映射是十分重要且有意義的.文獻[1]對Rd中的cookie-cutter集的性質(zhì)進行了深入研究，在關(guān)鍵條件“對于任意的x∈X，‖DS(x)‖‖DS(x)-1‖=1”下，獲得了cookie-cutter集Hausdorff維數(shù)壓力函數(shù)的Bowen公式；證明了支持在cookie-cutter集上的自相似測度，自保形測度及gibbs測度的存在性，并且分析了這些測度的維數(shù)譜；證明了cookie-cutter集的Hausdorff維數(shù)的二階密度的存在性.

作者對文獻[1]的關(guān)鍵條件“對于任意的x∈X，‖DS(x)‖‖DS(x)-1‖=1”進行深入研究后，發(fā)現(xiàn)此條件是保形映射的一個充分必要條件.

定義1[1，3-4]設(shè)X?Rd是一個凸的閉集且滿足X=cl(intX).如果映射S：X→X滿足

‖S(x)-S(y)‖=λ‖x-y‖，?x，y∈X，

S(x)=λRx+b，?x∈X，

其中λ為相似比，是一個常數(shù)，R是一個正交變換，b為Rd的一個向量.則稱該映射S是一個自相似映射.

定義2[1，3-4]設(shè)X?Rd是一個凸閉區(qū)域，X=cl(intX).如果映射S：X→X滿足

‖DSx(z1)-DSx(z2)‖=λ(x)‖z1-z2‖，?x∈X，

其中DS(x)表示S在點x處的向量導(dǎo)數(shù)，簡記為DSx(DS(x)是S在點x處的雅可比矩陣)，z1，z2是Rd中的兩個向量.亦即

S(x)=λ(x)Rx，?x∈X，

其中λ(x)是x的一個正函數(shù)，R是一個正交變換.則稱此映射S是一個保形變換.

定義3[5]對于一個向量xn×1，x的歐式范數(shù)定義為

定義4[5]矩陣范數(shù)定義如下：

2主要結(jié)果

定理1如果X?Rd是一個凸閉集，X=cl(intX)，則映射S：X→X是保形映射的充分必要條件是對任意x∈X，‖DS(x)‖‖DS(x)-1‖=1.

證明必要性.如果S：X→X是一個保形變換，則對于任意的x∈X，向量導(dǎo)數(shù)DS(x)是一個相似矩陣.[5]因此，DS(x)=λ(x)R(x)，其中λ(x)是一個正值函數(shù)，并且R(x)是一個依賴于x的正交變換.通過直接計算可得：

從而

‖DS(x)‖‖DS(x)-1‖=1，?x∈X.

充分性.如果‖DS(x)‖‖DS(x)-1‖=1，?x∈X，則存在一個常數(shù)λ(x)>0，對于任意的z∈{t：‖t‖=1}，‖DSx(z)‖=λ(x).

假設(shè)z1，z2∈{t：‖t‖=1}，使得‖DSx(z1)‖=λ1(x)‖z1‖，‖DSx(z2)‖=λ2(x)‖z2‖，其中λ1(x)≠λ2(x).不失一般性，不妨設(shè)λ1(x)>λ2(x).若DSx(z2)=z3，則z2=(DSx)-1(z3).通過計算可得：

因此

上式與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立.

綜上，對任意的z1，z2∈X，‖DSx(z1)-DSx(z2)‖=‖DSx(z1-z2)‖=λ(x)‖z1-z2‖，即S：X→X是一個保形變換.

[參考文獻]

[1]LIANG J R，YU Z G，REN F Y.Messures and their dimension spectrums for cookie-cutter sets in Rd[J].Acta Math Appli Sinica，2000，16：9-21.

[2]丁丹，郭晶，盛中平.有關(guān)Hausdorff測度的兩類覆蓋形式[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，45(4)：1-5.

[3]FALCONER K J.Fractal geometry mathematical foundations and applications[M].New York：John Wiley & Sons，1990：149-179.

[4]FALCONER K J.Techniques in fractal geometry[M].New York：John Wiley & Sons，1997：41-80.

[5]MEYER C D.Matrix analysis and applied linear algebra[M].Philadelphia：SIAM，2001：270-280.

[6]MATTILA P.Geometry of sets and measure in Euclidean spaces，fractals and rectifiability[M].Cambridge：Cambridge Univ Press，1995：51-52.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

A necessary and sufficient condition on conformal mapping

ZHU Ying-run1，CAO Jun-fei2，WANG Rui-ting1

(1.Education and Research Center of Basic Courses，Zhuhai College of Jilin University，Zhuhai 519041，China；2.Department of Mathematics，Guangdong University of Education，Guangzhou 510310，China)

Abstract:Through the study of preserved conformal mapping and norm，this paper concluded and proved a necessary and sufficient condition of conformal mapping.

Keywords:fractal；conformal mapping；norm

[中圖分類號]O 174.12[學(xué)科代碼]110·41

[文獻標志碼]A

[作者簡介]祝穎潤(1984—)，男，講師，主要從事分形幾何與拓撲動力系統(tǒng)研究；通訊作者：曹俊飛(1982—)，男，博士，副教授，主要從事隨機微分動力系統(tǒng)研究.

[基金項目]國家自然科學(xué)基金資助項目(11301090)；廣東第二師范學(xué)院博士與教授研究基金資助項目(2013ARF02).

[收稿日期]2015-09-11

[文章編號]1000-1832(2016)01-0159-02

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.031