高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的建模及跟蹤控制

李中奇，楊　輝，劉明杰，劉杰民

(1.華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌　330013;2.濟(jì)南鐵路局 濟(jì)南西機(jī)務(wù)段，山東 濟(jì)南　250021;3.濟(jì)南鐵路局 總工程師室，山東 濟(jì)南　250001)

目前，高速動(dòng)車組的制動(dòng)是由司機(jī)根據(jù)列車時(shí)刻表和限速要求，人工調(diào)整制動(dòng)級(jí)位實(shí)現(xiàn)的[1-3]。制動(dòng)效果依賴司機(jī)的操作經(jīng)驗(yàn)和操作技術(shù)，因此容易因司機(jī)的操縱經(jīng)驗(yàn)不足或操縱失誤引起車速接近或超過限制速度而導(dǎo)致常用制動(dòng)和緊急制動(dòng)，危及行車安全。研究高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的自動(dòng)駕駛算法，對(duì)提高高速動(dòng)車組的運(yùn)行安全性和停靠準(zhǔn)確性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

文獻(xiàn)[4—9]對(duì)動(dòng)車組制動(dòng)過程的縱向動(dòng)力學(xué)模型和速度跟蹤優(yōu)化控制方法進(jìn)行研究，取得許多成果。但上述方法建立的動(dòng)車組制動(dòng)過程模型均是以單質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，沒有考慮動(dòng)車組由多個(gè)車輛串聯(lián)組成的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，影響了制動(dòng)控制性能。基于多質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型，文獻(xiàn)[10]提出在制動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)未知情況下，優(yōu)化動(dòng)車組各車輛間相互影響時(shí)所需控制力的魯棒自適應(yīng)控制法，可實(shí)現(xiàn)位移和速度的跟蹤控制；文獻(xiàn)[11]采用基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測控制方法，解算動(dòng)車組運(yùn)行過程中施加的控制力。但由于這些多質(zhì)點(diǎn)模型中的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目較多，控制過程中控制變量的維數(shù)較高，計(jì)算量極大，實(shí)時(shí)性較差。

本文針對(duì)高速動(dòng)車組由多個(gè)動(dòng)力單元組成的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以既考慮動(dòng)車組的多動(dòng)力單元結(jié)構(gòu)、又降低控制過程計(jì)算的復(fù)雜度為目標(biāo)，建立其分布式自回歸模型，采用遞推最小二乘法辨識(shí)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)各動(dòng)力單元制動(dòng)過程中給定速度的跟蹤控制。

1　分布式三階自回歸模型

1.1　制動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)分析

可以將由動(dòng)車和拖車固定編組而成的動(dòng)力分散式高速動(dòng)車組劃分成多個(gè)動(dòng)力單元，在制動(dòng)過程中各動(dòng)力單元的動(dòng)力學(xué)特性除受自身制動(dòng)力的影響外，還受相鄰動(dòng)力單元的車鉤耦合作用，其縱向動(dòng)力學(xué)描述如圖1所示。圖中：i為動(dòng)力單元數(shù)；n為動(dòng)力單元總數(shù)；FZi為動(dòng)力單元i的運(yùn)行阻力；FNi和FNi-1分別為鄰近動(dòng)力單元對(duì)動(dòng)力單元i的車鉤耦合力；Fui為動(dòng)力單元i的制動(dòng)力；ki和di分別為動(dòng)力單元i和動(dòng)力單元i+1間的車鉤彈性系數(shù)和阻尼器的阻尼系數(shù)；vi為動(dòng)力單元i的速度。

圖1　高速動(dòng)車組制動(dòng)過程縱向動(dòng)力學(xué)描述

根據(jù)圖1的描述，各動(dòng)力單元的動(dòng)力學(xué)過程[12]為

(1)

其中，

各動(dòng)力單元間的車鉤耦合力本質(zhì)上還是由制動(dòng)力引起的，因此在高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的數(shù)學(xué)模型中可用制動(dòng)力的耦合關(guān)系代替車鉤力耦合關(guān)系，對(duì)式(1)進(jìn)行差分轉(zhuǎn)化可得n個(gè)動(dòng)力單元的離散數(shù)學(xué)模型為

(2)

式中：t為離散時(shí)間采樣時(shí)刻，p=1,2,3, …。

式(2)所示即為高速動(dòng)車組制動(dòng)過程中各動(dòng)力單元的分布式模型，即第i個(gè)動(dòng)力單元當(dāng)前時(shí)刻的速度vi(t)可以表示為其以前時(shí)刻的速度與全部動(dòng)力單元以前時(shí)刻制動(dòng)力之間的關(guān)系函數(shù)。

1.2　模型結(jié)構(gòu)的確定

動(dòng)車組制動(dòng)系統(tǒng)由多個(gè)動(dòng)力單元組成，各動(dòng)力單元均裝配制動(dòng)裝置，制動(dòng)裝置的制動(dòng)指令由列車自動(dòng)運(yùn)行系統(tǒng)或司機(jī)發(fā)出，傳送給全車各動(dòng)力單元的制動(dòng)裝置。由文獻(xiàn)[13]可知，從制動(dòng)指令的發(fā)出到制動(dòng)力的產(chǎn)生有1個(gè)空走、制動(dòng)力上升的過程，制動(dòng)力Fu與速度v的關(guān)系模型可以由圖2表示。圖中：a′，a″，a為各中間環(huán)節(jié)加速度；T1，T2，T3為時(shí)間常數(shù)；s為拉普拉斯算子。

圖2制動(dòng)力與速度的關(guān)系

(3)

由式(3)可見，高速動(dòng)車組各動(dòng)力單元的制動(dòng)力(輸入)與速度(輸出)之間可以用三階系統(tǒng)描述。

1.3　模型參數(shù)的辨識(shí)

根據(jù)式(3)，采用n輸入、單輸出自回歸模型對(duì)各動(dòng)力單元進(jìn)行描述，建立各動(dòng)力單元的分布式自回歸模型為

(4)

其中，

Ai(z-1)=1+ai1z-1+ai2z-2+…ainaz-na

Bij(z-1)=bij0+bij1z-1+bij2z-2+…bijnbz-nb

式中：ξi(k)為動(dòng)力單元i的白噪聲序列；j為動(dòng)力單元數(shù)，j≠i；na為各動(dòng)力單元?jiǎng)恿W(xué)機(jī)理模型的輸出階數(shù)；nb為各動(dòng)力單元?jiǎng)恿W(xué)機(jī)理模型的輸入階數(shù)；td為各動(dòng)力單元?jiǎng)恿W(xué)機(jī)理模型的輸入延時(shí)；z為離散時(shí)間方程的延時(shí)算子；aina，bijnb為各動(dòng)力單元?jiǎng)恿W(xué)機(jī)理模型的多項(xiàng)式系數(shù)。

因各動(dòng)力單元的輸入、輸出為三階系統(tǒng)，即na=3，nb=1，則式(4)改寫成最小二乘形式為

vi(t)=-ai1vi(t-1)-…-ai3vi(t-3)+b110Fu1(t-td)+b111Fu1(t-td-

1)+…+bnn0Fun(t-td)+bnn1Fun(t-

td-1)+ξi(t)=φT(t)θ+ξi(t)

(5)

式中：φ(t)為數(shù)據(jù)向量；θ為待估參數(shù)向量。

θ采用遞推最小二乘法進(jìn)行辨識(shí)，有

(6)

其中，

對(duì)由n個(gè)動(dòng)力單元組成的動(dòng)車組，根據(jù)以上各動(dòng)力單元的建模方法，可得高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的分布式三階自回歸模型為

(7)

2　制動(dòng)過程的多變量廣義預(yù)測控制

廣義預(yù)測控制是通過多步預(yù)測、預(yù)測模型未來的輸出和設(shè)定值間的偏差，采用滾動(dòng)優(yōu)化策略計(jì)算系統(tǒng)所需的控制量。它具有預(yù)測模型、控制優(yōu)化、循環(huán)滾動(dòng)、抑制擾動(dòng)和保持輸出變量穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。針對(duì)式(7)所示的模型，考慮高速動(dòng)車組全車為多輸入多輸出系統(tǒng)，采用適用范圍較廣的多變量廣義預(yù)測控制算法對(duì)動(dòng)車組的制動(dòng)過程進(jìn)行跟蹤控制。

圖3為基于高速動(dòng)車組制動(dòng)過程分布式自回歸模型的多變量廣義預(yù)測控制原理。由圖3可見，整個(gè)控制過程是在每個(gè)采樣時(shí)刻，將輸出速度序列v與目標(biāo)函數(shù)給出的輸出速度vr之間的誤差反饋給預(yù)測控制器，根據(jù)動(dòng)車組制動(dòng)過程的分布式自回歸模型，經(jīng)過具體計(jì)算獲得并輸出控制量Fu，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)高速動(dòng)車組速度的高精度跟蹤。

圖3高速動(dòng)車組制動(dòng)過程分布式自回歸模型的多變量廣義預(yù)測控制原理

由n個(gè)動(dòng)力單元組成的高速動(dòng)車組有n個(gè)輸入(制動(dòng)力)和n個(gè)輸出(速度)，將式(7)轉(zhuǎn)換為分布式受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型，為

(8)

式中：A(z-1)，B(z-1)和C(z-1)均為n×n階多項(xiàng)式矩陣(因輸入量和輸出量的維數(shù)相同)；v(t)，F(xiàn)u(t)和ξ(t)分別為n維輸出、輸入和噪聲向量；Δ為n維對(duì)角差分矩陣，Δ=diag(1-z-1)。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的多變量廣義預(yù)測控制算法，通過2次求解描述模型輸入與輸出關(guān)系的丟番圖方程，則性能指標(biāo)J(N,Nu)為

(9)

在不考慮約束的條件下，可求解最優(yōu)控制量ΔFuj為

ΔFuj=(ΨTPΨ+Q)-1ΨTP(vrj-ρj)

(10)

式中：Ψ為與控制增量有關(guān)的多項(xiàng)式矩陣；ρj為第j步預(yù)測模型初值，均可根據(jù)文獻(xiàn)[14]方法推導(dǎo)，在此不再贅述。

設(shè)dT為矩陣(ΨTPΨ+Q)-1ΨTP的第1行，則即時(shí)控制量Fuj為

Fuj(t)=Fuj(t-1)+dT(vrj-ρj)

(11)

其中，

vrj=[vrj(t+1)vrj(t+2)…vrj(t+N)]T

ρj=[ρj(t+1)ρj(t+2)…ρj(t+N)]T

通過對(duì)式(9)的滾動(dòng)優(yōu)化求解，實(shí)時(shí)生成動(dòng)車組所需制動(dòng)力。

3　仿真驗(yàn)證及分析

本文選用六動(dòng)兩拖的CRH380A型高速動(dòng)車組為仿真驗(yàn)證對(duì)象，它由3個(gè)動(dòng)力單元組成，如圖4所示。圖中：M為動(dòng)車；T為拖車[15]。為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，將采集到的該高速動(dòng)車組擔(dān)當(dāng)G221次在京滬高鐵下行線進(jìn)入滕州東站制動(dòng)時(shí)的3059組制動(dòng)力和速度的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)作為建模樣本和校驗(yàn)數(shù)據(jù)，并采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真計(jì)算。

圖4　CRH380A型高速動(dòng)車組的動(dòng)力單元

3.1　模型的建立和驗(yàn)證

選取2 622組運(yùn)行數(shù)據(jù)作為建模樣本，根據(jù)式(2)—式(9)得到高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的分布式自回歸模型為

(12)

另取437組運(yùn)行數(shù)據(jù)對(duì)以上建立的模型進(jìn)行有效性驗(yàn)證。圖5為各動(dòng)力單元的計(jì)算速度與實(shí)際速度之間的誤差曲線，表1為各動(dòng)力單元模型驗(yàn)證誤差分析。

圖5　各動(dòng)力單元計(jì)算速度與實(shí)際速度間的誤差曲線

表1各動(dòng)力單元模型驗(yàn)證誤差分析

km·h-1

由圖5和表1可見，計(jì)算速度與實(shí)際速度之間最大正負(fù)誤差的絕對(duì)值均小于2 km·h-1，均方根誤差小于1 km·h-1，滿足高速動(dòng)車組運(yùn)行過程的速度誤差要求[12]，即速度為30 km·h-1以下時(shí)誤差為±2 km·h-1、為30 km·h-1以上時(shí)誤差不超過2%的要求，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。

3.2　制動(dòng)過程的跟蹤控制

采用本文方法和文獻(xiàn)[8]方法得到的高速動(dòng)車組制動(dòng)過程中各動(dòng)力單元速度的跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線，分別如圖6所示和圖7所示。圖中：v1—v3和v1[8]—v3[8]分別為采用本文方法和文獻(xiàn)[8]方法得到的各控制單元的計(jì)算速度。

表2為采用2種不同方法得到的各動(dòng)力單元速度跟蹤誤差范圍和均方根誤差。

表2各動(dòng)力單元制動(dòng)過程速度誤差分析

km·h-1

圖6　采用不同方法得到的各動(dòng)力單元的速度跟蹤曲線

圖7　分別采用本文方法和文獻(xiàn)[8]方法得到的各動(dòng)力單元速度誤差

圖6、圖7和表2表明，采用本文方法得到動(dòng)車組制動(dòng)過程中各動(dòng)力單元速度跟蹤的均方根誤差分別為0.046 0，0.044 9和0.045 5 km·h-1，采用文獻(xiàn)[8]方法得到的均方根誤差分別為0.404 2，0.427 3和0.463 8 km·h-1；采用本文方法的最大正誤差為0.193 7 km·h-1，最大負(fù)誤差為-0.105 9 km·h-1，采用文獻(xiàn)[8]方法的最大正誤差為0.840 4 km·h-1，最大負(fù)誤差為-0.256 2 km·h-1，可見采用多變量廣義預(yù)測控制方法的控制性能要優(yōu)于采用多變量比例積分微分(PID)控制方法的。

由圖7還可以看出，采用文獻(xiàn)[8]方法得到的高速動(dòng)車組運(yùn)行的平均速度均大于給定速度，使得在同樣的制動(dòng)時(shí)間內(nèi)其制動(dòng)距離也增大。

采用2種不同方法得到的各動(dòng)力單元制動(dòng)過程中的制動(dòng)距離及其絕對(duì)誤差見表3。由表3可見，采用本文方法時(shí)3個(gè)動(dòng)力單元的實(shí)際制動(dòng)距離較高精度地跟蹤了給定的制動(dòng)距離12.848 0 km，且優(yōu)于采用文獻(xiàn)[8]方法時(shí)的制動(dòng)距離，表明高速動(dòng)車組制動(dòng)時(shí)的停靠準(zhǔn)確性較好。

表3　采用不同方法得到的各動(dòng)力單元制動(dòng)過程中的制動(dòng)距離及其絕對(duì)誤差 km

圖8分別為采用本文方法得到的各動(dòng)力單元制動(dòng)力Fu1—Fu3和文獻(xiàn)[8]方法得到的各動(dòng)力單元制動(dòng)力Fu1[8]—Fu3[8]。由圖8可見，采用本文方法得到的制動(dòng)力變化平緩，減小了制動(dòng)力對(duì)高速動(dòng)車組的沖擊，提高了制動(dòng)過程的舒適性和安全性。

4　結(jié)　語

本文基于動(dòng)車組多動(dòng)力單元的分布式建模方法，通過分析高速動(dòng)車組各動(dòng)力單元的制動(dòng)過程，確定各動(dòng)力單元中制動(dòng)力與速度之間為輸入輸出的三階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，考慮各動(dòng)力單元之間的耦合力，基于實(shí)際動(dòng)車組制動(dòng)過程的運(yùn)行數(shù)據(jù)和制動(dòng)特性曲線，建立了高速動(dòng)車組制動(dòng)過程的分布式三階自回歸模型。該模型克服了傳統(tǒng)單質(zhì)點(diǎn)模型沒有考慮車輛間的耦合關(guān)系而導(dǎo)致的控制效果較差以及多質(zhì)點(diǎn)模型由于控制變量維數(shù)較高、控制過程計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性差的缺點(diǎn)。采用多變量廣義預(yù)測控制方法不但能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)動(dòng)車組各動(dòng)力單元給定制動(dòng)速度的高精度跟蹤控制，而且能夠保證制動(dòng)過程中動(dòng)車組的運(yùn)行安全、舒適及停靠站臺(tái)位置的準(zhǔn)確性。

圖8　采用不同方法得到的各動(dòng)力單元制動(dòng)力

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