列車—軌道—橋梁耦合系統動力方程求解方法對計算精度和效率的影響

朱志輝,龔　威，王力東，蔡成標，余志武

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙　410075；2.中南大學 高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南 長沙　410075；3.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都　610031)

隨著列車的高速化和重載化，列車在橋梁上行駛時引起的橋梁動力響應及其對行車安全性和乘坐舒適性的影響是近20年內的重要研究內容[1]。同時，大跨度橋梁在我國高速鐵路線路中的應用日益增多[2]，提高車—橋耦合振動分析(Train-bridge coupled analysis，TBA)的計算效率和計算精度對于全面和深入分析大跨度橋梁動力響應和行車安全性至關重要[3]。Doménech[4]，Pablo[5]和Lou[6-7]分別對比和討論了不同車輛模型、不同輪軌關系以及不同橋梁模型對TBA計算精度的影響。但關于不同車—橋耦合系統動力方程求解方法對計算精度和計算效率的研究還不充分。

目前在車—橋耦合系統動力方程求解方法中，根據車輛和橋梁子系統動力方程求解過程中是否在每個時間步上進行迭代求解計算，可分為分離迭代計算方法(the separation and iteration method, SIM)和耦合時變計算方法(the coupled and time-dependent method, CTM)[1]2類。其中SIM將車輛和橋梁作為2個獨立的子系統，分別求解車輛和橋梁動力方程，但是2個子系統需要在每一時間步內進行迭代求解，直至滿足輪軌接觸點處力平衡條件和位移協調條件。在整個計算過程中，由于SIM中的車輛和橋梁子系統的質量、剛度和阻尼矩陣為常量，從而簡化了理論推導及求解難度[3]，且易于和現有有限元軟件相結合[8]，在以往的研究中得到了較為廣泛應用[9-12]。CTM直接建立車輛和橋梁耦合系統整體時變動力方程，在每一時間步通過直接法求解動力方程[13-15]。CTM雖然可以避免SIM在每一時間步內的收斂迭代計算，但需要在每一時間步根據移動的輪軌接觸點實時更新時變系統阻尼和剛度矩陣[13]。當車輛模型復雜以及存在大量輪軌接觸點時，將會導致推導時變系統剛度和阻尼矩陣非常復雜，從而限制了該方法在鐵路橋梁的車—橋耦合振動研究中使用[7，16]。

在過去的很多車—橋耦合振動研究中，通常假定鋼軌與橋面之間無相對運動，忽略軌道結構的彈性變形[8，11]。隨著研究的逐步深入，軌道結構的彈性支承和變形作用在車—橋耦合振動中的影響逐步引起了研究人員的重視[7，12]。但當在車—橋耦合振動研究中考慮軌道結構時，會使以往不突出的問題變得重要，比如計算效率、收斂性和計算精度問題。吳定俊[12]、杜憲亭[17]等分別針對輪軌分離模型和密貼模型，討論了分離迭代算法的數值求解穩定性問題。雖然輪軌分離模型在足夠小的時間積分步長下可以收斂，但會導致計算時間過長。同時，當在研究車—橋耦合振動中考慮鋼軌時，由于簧下車輪質量大于輪軌接觸點處鋼軌質量，從而導致密貼模型計算不收斂。為提高SIM的計算收斂性，Zhang[18]提出全過程迭代法求解車—橋耦合系統動力方程，杜憲亭[11]提出基于精細Rung-Kutta混合積分法的車—橋耦合振動非迭代求解算法；但上述研究并未考慮軌道結構，且未給出不同方法對于輪軌力、鋼軌振動加速度計算精度的影響。

鑒于SIM和CTM在車—橋耦合系統動力分析過程中各自的優勢與缺點，以及考慮軌道結構以后的列車—軌道—橋梁耦合系統(train-track-bridge couples system，TTBCS)的復雜性，本文基于輪軌Hertz接觸模型，分別采用SIM與CTM建立了TTBCS垂向動力方程，并編寫了2種計算方法的MATLAB程序。首先根據譜半徑理論和最大頻率討論2種方法對時間積分步長的要求以及在計算收斂性方面的差別；然后以8輛車編組的高速列車通過5跨簡支梁橋為例，對比2種方法的計算精度，并討論不同積分時間步長對車體、鋼軌和橋梁動力響應以及輪軌力等指標計算精度的影響，從而為TTBCS動力分析選擇合理的分析方法和確定合理的時間積分步長提供參考。

1　車輛—軌道—橋梁耦合系統模型

圖1為典型的列車—軌道—橋梁耦合系統垂向動力相互作用模型示意圖，該系統包括車輛子系統和軌道—橋梁子系統兩部分，2個子系統之間通過輪軌相互作用聯系在一起；當不考慮外部激勵時，軌道不平順是引起二者振動的激勵源。圖中，m，c和k分別為質量、阻尼和剛度，z為沉浮位移，θ為點頭位移，下標c,b,w,p和s分別表示車體、轉向架、輪對、一系懸掛、二系懸掛。

圖1　列車—軌道—橋梁耦合系統示意圖

1.1　車輛子系統模型

通常一列列車由Nv節車輛組成，當忽略車體局部變形時，每節車輛可以簡化為由1個車體、2個轉向架、4個輪對以及一系和二系懸掛組成的質量—彈簧—阻尼器系統。由于考慮了軌道結構，密貼模型會使得分離迭代法計算難以收斂或計算精度下降(采用虛擬質量法保證其收斂性)[5]，因此本文采用輪軌Hertz接觸模型。每節車共有10個自由度，包括車體、轉向架的沉浮(zcj,zb1j,zb2j) 和點頭(θcj,θb1j,θb2j)以及輪對的沉浮(zw(4j-3)，zw(4j-2)，zw(4j-1)，zw4j)。根據多剛體假定和線性懸掛系統假定，每節車的參數可以簡化為一系懸掛剛度和阻尼(kp,cp)、二系懸掛剛度和阻尼(ks,cs)、車體的質量和點頭轉動慣量(mc,Jc)、構架的質量和點頭轉動慣量(mb,Jb)以及輪對的質量mw。

當列車勻速運行時，不考慮車輛之間的縱向相互作用，采用D’Alembert原理，可建立基于平衡位置的車輛子系統運動方程

(1)

車輛子系統質量矩陣為

(2)

其中，

Mvj=diag(mcJcmbJbmbJbmwmwmwmw)

式中：Mvj為第j節車的質量矩陣。

車輛子系統剛度矩陣為

(3)

式中：Kvj為第j節車的剛度矩陣，其具體表達式可參考文獻[7]。

第j節車的阻尼矩陣Cvi與Kvi在形式上相同，只需將Kvi中的一系懸掛剛度kp與二系懸掛剛度ks替換成一系懸掛阻尼cp與二系懸掛阻尼cs即可。

車輛子系統位移向量Xv為

(4)

式中：Xvj為第j輛車的位移向量。

10個自由度垂向車輛模型的位移向量為

Xvj=(zcjθcjzb1jθb1jzb2jθb2jzw(4j-3)zw(4j-2)zw(4j-1)zw4j)

(5)

1.2　軌道—橋梁模型

在車—橋耦合振動分析中，軌道結構不但對橋梁動力特性有影響[19]，而且考慮軌道結構可以更準確地評估行車安全性和乘坐舒適性[20]。同時，以往的研究發現，模態疊加法雖然可以提高結構動力響應的計算效率，但是很難準確體現鋼軌的局部高頻振動特性。因此，本文采用有限元方法建立軌道—橋梁子系統模型，并采用直接剛度法建立軌道—橋梁子系統動力平衡方程

(6)

式中：Mb,Cb和Kb分別為軌道—橋梁系統的總體質量矩陣、總體阻尼矩陣和總體剛度矩陣；Xb和Fb分別為軌道—橋梁系統的位移向量和荷載向量。

1.3　輪軌接觸模型

車輛子系統和橋梁子系統之間的動力相互作用通過輪軌接觸實現，同時輪軌之間的相互作用也是引起 2個子系統振動的主要激勵源。現在處理輪軌接觸主要有2種方法[21]：一種是忽略輪軌相對變形的密貼模型[6,7,22]，另一種是考慮輪軌相對變形的Hertz接觸模型[8,12]。密貼模型雖然理論上較為簡單，但是當在車—橋耦合振動中考慮軌道結構時，由于輪軌接觸點處輪對質量大于鋼軌質量，容易導致計算難以收斂[12]，需要采用虛擬質量法進行特殊處理以改善收斂性[17]。本文采用基于切線斜率法的線性赫茲接觸模型模擬輪軌接觸關系[3]。切線斜率法是指過非線性赫茲接觸曲線中靜態輪軌力P0對應的點作切線，切線的斜率即為輪軌接觸彈簧剛度kh的取值。根據非線性赫茲接觸理論，輪軌垂向作用力P(t)與輪軌彈性壓縮量δZ(t)之間有如下關系：

(7)

將式(7)兩端對δZ(t)求導， 并將靜態輪軌力P0對應的輪軌靜壓縮量δZ0(t)代入式(7)，即可得kh的取值

(8)

2　車輛—軌道—橋梁系統耦合時變動力方程

車輛—軌道—橋梁系統耦合時變動力方程將車輛子系統動力方程(1)和軌道—橋梁子系統動力方程(6)通過輪軌接觸關系視為1個整體，系統耦合時變動力方程可寫為

(9)

式中：Ksystem為系統的整體剛度矩陣。

由于輪軌接觸模型中只包括剛度項，不包括阻尼項和質量項，因此車輛子系統與橋梁子系統的耦合項只體現在耦合系統剛度矩陣中。耦合系統的質量矩陣和阻尼矩陣由車輛子系統和軌道—橋梁子系統的質量和阻尼矩陣按主對角排列形成。

耦合系統總剛度矩陣Ksystem可表示為

Ksystem=K1+K2

(10)

式中：K1為車輛子系統與橋梁子系統不考慮耦合項的整體剛度矩陣；K2為車輛與鋼軌的接觸矩陣。

在整個計算過程中K1保持不變。K1可由Kv和Kb按主對角排列形成

(11)

若上橋的輪對數為Nob，則K2可表示為

(12)

式中：K2i為橋上第i個輪對與軌道的接觸剛度矩陣，需要在每一時間步根據列車輪軌位置實時更新。

根據列車已運行時間、列車初始位置與運行速度可知第i個輪對所在的軌道單元n及在單元上的相對位置xi，如圖2所示。圖中n和n+1為單元n的2個節點；zrn和θrn分別為第n個節點的豎向位移與轉角位移；zr(n+1)和θr(n+1)分別為第n+1個節點的豎向位移與轉角位移。

圖2　第i個輪對與軌道單元耦合示意圖

由于系統只考慮垂向振動，故只將輪對的豎向自由度zw與軌道單元節點的豎向自由度zr及轉角自由度θr耦合。K2i可表示為

(13)

其中，kii=khkiq=-khN(x)|x=xi

式中：0為零矩陣或零向量；N(x)為鋼軌單元的形函數向量，本文采用Hermit三次多項式作為梁單元形函數[7]。

式(9)等號右端為耦合時變系統的整體荷載向量，其中車輛荷載列向量可表示為

Fv=Fvg+Fvr

(14)

其中，

Fvgi=(mcg0mbg0mbg0mwgmwg

mwgmwg)

Fvri=(0khr(x)0)T|x=xi

式中：Fvg為車輛的重力荷載：Fvgi為第i輛車的重力荷載向量；Fvr為車輛所受軌道不平順激勵；Fvgi為第i個輪對受到的軌道不平順激勵，是(10×Nv)×1的列向量；r(x)為軌道不平順，由輪對在軌道上的位置決定。

需要指出的是，在Fvgi中，除了第i個輪對所對應的自由度位置外，其余位置均為零。

橋梁的荷載列向量Fb可表示為

(15)

其中，

Fbri=-khr(x)(0N(x)0)T

式中：Fbr為橋梁所受軌道不平順激勵；Fbri為橋上第i個輪對所在位置的軌道單元受到的不平順激勵，是1個Nb×1的列向量，Fbri中除了單元n對應的自由度位置外，其余位置均為零。

3　車輛—軌道—橋梁系統分離迭代動力方程

采用分離迭代法時，直接將車輛子系統動力方程(1)和軌道—橋梁子系統動力方程(6)寫為矩陣形式，即可得到耦合系統整體動力方程

(16)

與式(9)相比，式(16)等號左端項中沒有車輛子系統和軌道—橋梁子系統之間的耦合項，車輛子系統和軌道—橋梁子系統之間通過輪軌相互作用平衡條件的反復迭代實現動力平衡，從而保證在整個迭代分析過程中，無需根據車輛位置改變耦合系統的質量、剛度和阻尼矩陣。

式(16)中的車輛荷載列向量可寫為

(17)

Fvfi=(0kh(zrwi-zwi)0)T

式中：Fvf為車輛受到的由輪軌壓縮量引起的輪軌力；Fvfi為在橋上的第i個輪對所受由輪軌壓縮量引起的輪軌力，在每一時間步中，可根據橋上第i個輪對與所在位置鋼軌的運動狀態(見圖2)確定；zrwi-zwi為第i個輪對所在位置的輪軌壓縮量，zwi為第i個輪對所在位置的鋼軌豎向位移。

zrwi可以由鋼軌單元節點位移及其形函數求得

zrwi=XnNT(x)|x=xi

(18)

式中：Xn為輪對下鋼軌單元位移向量。

橋梁荷載列向量為

Fb=Fbr+Fbf

(19)

其中，

(0N(x)0)T|x=xi

式中：Fbf為橋梁受到的由輪軌壓縮量引起的輪軌力；Fbfi為第i個輪對處由輪軌壓縮量引起的輪軌力。

4　SIM和CTM計算流程

圖3給出了TTBCS采用SIM和采用CIM的計算流程，其中T為總計算時間，t為每步計算時間，Δt為時間積分步長。

圖3　車—軌—橋系統求解流程圖

需要指出的是，在CTM中，只有接觸剛度矩陣K2及車輛與橋梁所受軌道不平順激勵(Fvr,Fbr)是隨時間變化的，必須在每一時間步根據車輛位置重新計算。在SIM的迭代收斂判斷中，要求在任一時間步內第k迭代步的運動狀態與第k+1步的運動狀態滿足迭代收斂準則。由于輪軌間相互作用力體現了車輛與橋梁2個子系統的響應狀態及耦合關系，本文以輪軌力相對誤差百分比ε≤10-6作為收斂判斷準則[23]。

5　時間積分步長及迭代計算穩定性

時間積分步長和迭代計算穩定性是動力方程求解過程中的2個關鍵問題，需要從計算精度和效率進行綜合考慮[24]。本文通過圖4所示的列車—軌道—橋梁耦合系統簡單模型，分別對TTBCS的時間積分步長和迭代計算穩定性進行討論。

圖4　列車—軌道—橋梁耦合系統簡化模型

5.1　時間積分步長

時間積分步長是決定動力方程求解精度的重要參數，根據Clough & Penzien建議[24]，時間積分步長Δt≤1/(10fmax) ，其中fmax為系統最高自振頻率。TTBCS屬于剛柔組合的復雜系統，其中車輛及軌道—橋梁子系統以低頻振動為主；輪軌相互作用則以高頻振動為主(輪軌間接觸剛度較大)[12]。

依據一般車輛參數，假定簡化模型的計算參數為：mc=5 750 kg,mw=1 000 kg,mr=36 kg,kp=2 MN·m-1,cp=80 kN·s·m-1,kr=47.6 MN·m-1,cr=75 kN·s·m-1,kh=1.44 GN·m-1。可求得圖4所示簡化模型振動系統的fmax=1 040.2 Hz，從而可以確定最大時間積分步長Δtmax≤0.104 ms。

5.2　迭代穩定性討論

對于耦合時變動力方程，其積分穩定性主要由數值積分方法決定。當采用無條件穩定的積分方法(如Newmark-β法)時，耦合時變動力方程不存在迭代收斂性問題。當采用分離迭代方法時，由于車輛子系統和軌道—橋梁子系統之間存在時間積分步內的迭代，其積分穩定性除了受積分方法的影響外，還受到迭代計算的影響。故本文利用譜半徑理論[17]研究分離迭代法的迭代穩定性(本文僅對Newmark-β法進行討論)。

按照參考文獻[17]對譜半徑的推導過程，可得圖4所示簡化模型的迭代矩陣的譜半徑為

(20)

由式(20)可知，譜半徑主要由積分步長決定。為使得分離迭代法在積分步內的迭代收斂，則譜半徑必須小于1，而且考慮到迭代收斂速度，對譜半徑的要求則更高。根據5.1節中的參數，圖5給出了譜半徑隨時間積分步長Δt的變化曲線。由圖5可知，當R<1時，Δt<0.37 ms。

圖5　譜半徑隨積分步長變化曲線

6　算　例

以8輛車編組(1M+6T+1M)的CRH2型高速列車通過5跨32 m預應力混凝土簡支箱梁橋為例，對比SIM和CTM在TTBCS系統動力響應計算精度和計算效率上的區別。車輛參數可參考文獻[25]，主梁和橋墩截面如圖6所示。采用有限元法建立的軌道—橋梁子系統模型如圖7所示(圖中A點和B點為第3跨跨中鋼軌和梁體位置)，其中主梁、橋墩和鋼軌均采用梁單元模擬，鋼軌和主梁之間通過剛臂考慮線路偏心[3]。鋼軌節點和剛臂節點之間通過彈簧—阻尼器連接，考慮軌下扣件和墊板的彈性支撐作用，其垂向剛度和阻尼分別取47.6 MN·m-1和75 kN·s·m-1。軌道不平順譜采用我國高速鐵路無砟軌道不平順譜，車輛時速為300 km。

圖6　橋梁截面示意圖(單位：mm)

圖7　軌道—橋梁模型(單位：m)

6.1　SIM和CTM計算結果對比

在利用SIM計算系統動力響應時，通過多次試算可知，若時間積分步長大于等于0.2 ms，則會導致計算結果發散或嚴重失真。這與5.2節中基于簡化模型所算得的SIM對于時間積分步長的要求相符合，表明5.2節中關于時間積分步長預判對于分離迭代法的時間積分步長選擇具有一定的指導作用。為對比計算收斂條件下2種方法計算結果的精度，在Δt=0.1 ms的時間積分積分步長下，利用2種方法計算了系統的動力響應，計算結果見表1及圖8、圖9和圖10。可以看出，2種方法計算所得的橋梁跨中加速度、垂向輪軌力及車體加速度等動力響應的最大誤差僅為2.5%，說明在足夠小的時間積分步長條件下，2種方法均可以得到理想的耦合系統動力響應結果。

表1　2種方法計算響應最大值對比

圖8　2種方法A點豎向加速度對比

圖9　2種方法A點豎向位移對比

圖10　2種方法首輪對垂向輪軌力對比

6.2　不同動力響應指標的時間積分步長敏感性分析

在開展車—橋耦合系統動力響應分析時，CTM由于不存在迭代計算，單純從動力方程計算穩定性來說，完全可以采用較SIM更大的時間積分步長。但由于車—橋耦合系統屬于剛柔結合的動力系統，不同部位的動力響應計算精度受時間積分步長的影響各不相同；而且在實際研究中，并非所有動力響應指標都是關注對象。因此，研究不同動力響應指標計算精度對時間積分步長的敏感性有助于在保證計算精度的情況下確定合理的時間積分步長，提升計算效率。

圖11—圖16給出了利用耦合時變算法、時間積分步長在1～0.1 ms時耦合系統不同動力響應的最大值及其與0.1 ms時間積分步長時的相對誤差。

圖11　A點最大位移及其相對誤差

圖12　A點最大加速度及其相對誤差

從圖11—圖16可以看出：車輛、軌道—橋梁子系統的動力響應指標最大值均隨著時間積分步長的減小逐漸趨近與穩定。其中，鋼軌位移、車體加速度、橋梁位移、輪軌垂向力受時間積分步長的影響很小，即使是1 ms的時間積分步長，其相對誤差百分比也不超過2%；橋梁加速度在時間積分步長為0.9 ms 時可得到相對誤差小于5%的計算結果；鋼軌加速度受時間積分步長影響最大，當時間積分步長為0.4 ms 時計算結果趨于穩定，主要原因在于鋼軌振動頻率比較高，較大的時間積分步長不足以準確捕捉鋼軌加速度的峰值點。

圖13　車體最大加速度及其相對誤差

圖14　B點最大位移及其相對誤差

圖15　B點最大加速度及其相對誤差

圖16　最大輪軌垂向力及其相對誤差

如果以5%的相對誤差作為可接受的誤差，則各項動力響應指標可接受的最大時間積分步長見表2。從表2可知，在相同時間積分步長情況下，CTM由于在每一時間步需要根據車輪位置重新形成系統剛度矩陣，從而導致計算時間比SIM長；但由于CTM采用直接積分法，避免了迭代收斂問題，故可以采用0.4 ms 的時間積分步長，使得CTM仍有計算效率上的優勢。如果僅研究主梁沖擊系數、乘坐舒適度指標，則利用CTM可采用1 ms的大時間步長，使計算效率提高5倍以上。

表2　2種方法計算時間及計算精度對比

7　結　論

(1)通過最大頻率和譜半徑理論可對動力響應計算的時間積分步長做初步的預測，SIM的時間積分步長受譜半徑和系統最大頻率2個指標控制，而CTM的時間積分步長主要由計算結果的準確性控制。

(2)在保證收斂的條件下，SIM和CTM均可以得到一致的耦合系統動力響應結果，SIM受時間積分步內迭代穩定性的影響，對時間積分步長有著較高要求，在本文算例中時間積分步長小于等于0.4 ms時才可得到收斂的計算結果；CTM則允許在較長的時間積分步長下進行動力響應計算。

(3)不同的動力響應指標計算精度對時間積分步長的敏感性不同，鋼軌振動加速度最敏感；鋼軌位移、車體加速度、橋梁位移、輪軌垂向力受時間積分步長的影響很小，如研究內容只與上述指標有關，則可利用CTM，采用1 ms的時間積分步長，以提高計算效率。

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