耦合薛定諤模型在光纖傳導(dǎo)中的應(yīng)用

孫杰

摘要：薛定諤方程在光纖通信領(lǐng)域應(yīng)用較為普遍與重要，本文主要針對一個高維耦合的薛定諤方程進行研究，先是給出了該高維耦合薛定諤方程的物理意義與應(yīng)用背景，然后從光纖在傳導(dǎo)中的無損傳導(dǎo)現(xiàn)象出發(fā)，依據(jù)雙線性方法探究了該耦合方程的孤子形式的解，并且借助符號計算根據(jù)孤子解的圖像討論了該薛定諤方程孤子解的傳播過程。耦合薛定諤方程中存在孤子解之間的彈性碰撞，這在信號放大和光開關(guān)的研究中具有重要的意義，在通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面的也有很多的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：光纖通信；無損傳導(dǎo)；符號計算；孤子解；彈性碰撞

中圖分類號：TN91

文獻標(biāo)識碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.02.005

引言

光纖通信中，損耗和色散是限制傳輸距離和傳輸容量的主要原因，隨著光纖制造技術(shù)的不斷發(fā)展，光纖的損耗已經(jīng)降低到接近理論極限值的程度，色散問題就成為實現(xiàn)超長距離和超大容量光纖通信的主要問題，光孤子通信是一種全光非線性通信方式，也是消除色散的最佳途徑，因此對于光孤子的研究與使用也變得尤其重要。

相對于普通通信方式，光纖通信的應(yīng)用領(lǐng)域較為廣泛，光纖通信的優(yōu)點在這里可以充分發(fā)揮其自身的優(yōu)勢，并且逐步取代電纜，可以在各個方面得到廣泛應(yīng)用。過去的時候長途干線通信過去主要靠電纜、微波、衛(wèi)星通信，現(xiàn)以逐步使用光纖通信并形成了占全球優(yōu)勢的比特傳輸方法；用于全球通信網(wǎng)、各國的公共電信網(wǎng)；它還被用于高質(zhì)量彩色的電視傳輸、工業(yè)生產(chǎn)現(xiàn)場監(jiān)視和調(diào)度、交通監(jiān)視控制指揮、城鎮(zhèn)有線電視網(wǎng)、共用天線系統(tǒng)，用于光纖局域網(wǎng)中使用。

光纖傳輸系統(tǒng)主要包括：光發(fā)送機、光接收機、光纜傳輸線路、光中繼器和各種無源光器件等構(gòu)成。但是要實現(xiàn)通信，基帶信號還必須經(jīng)過電機對信號進行處理后送到光纖傳輸系統(tǒng)完成通信過程。

隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，光孤子通信已經(jīng)出現(xiàn)在了人們的視野當(dāng)中，光孤子通信是一種全光非線性通信技術(shù)，其基本原理是光纖折射率的非線性（自相位調(diào)制）效應(yīng)導(dǎo)致對光脈沖的壓縮可以與群速色散引起的光脈沖展寬相平衡，在一定條件（光纖的反常色散區(qū)及脈沖光功率密度足夠大）下，光孤子能夠長距離不變形地在光纖中傳輸。它完全擺脫了光纖色散對傳輸速率和通信容量的限制，其傳輸容量比原來最好的通信系統(tǒng)高出了許多，中繼距離也可達到幾百km。因此光孤子通信被認為是下一代最有發(fā)展前途的傳輸方式之一。

薛定諤方程已經(jīng)廣泛的被應(yīng)用在了光通信，等離子物理，流體力學(xué)，量子物理等領(lǐng)域，其中在光纖通信中的領(lǐng)域應(yīng)用較為普遍與重要，薛定諤方程可以用來描述光孤子在光纖中的傳播現(xiàn)象與原理。1973年，Hasagawa和Tappert首次提出了利用光纖中的非線性與異常色散相互作用的原理進行超長距離光孤子通信并且被實踐所證實，同時Hasagawa和Tappen又提出了利用非線性與正常色散相互作用的暗孤子傳輸方案，其中光孤子傳播的模型由如下薛定諤方程所表示：

其中q表示光脈沖在傳播中的包絡(luò)，t與x分別表示時間與空間變量。這個模型最開始被用來描述光孤子在單模光纖中的傳播模型，而隨著科技的進步，研究者在科研中發(fā)現(xiàn)了耦合的薛定諤方程可以用來描述在多模光纖、光纖陣列和雙折射光纖等光纖介質(zhì)中具有不同頻率或極化的多個光脈沖或光束的同時傳播，這些耦合薛定諤方程可用于研究孤子波分復(fù)用、多信道比特并行波長光纖網(wǎng)絡(luò)等等。因為方程（l）所描述的光脈沖能力有限，所以我們引入耦合的NLS方程去描述更為復(fù)雜的光脈沖傳播原理，本文我們主要研究一個變系數(shù)3+1維的耦合薛定諤方程

其中，φ與是變量x，y，z和t的復(fù)函數(shù)，表示在光纖傳播中圓極波的振幅，β（z）是二階反應(yīng)擴散系數(shù)，x（z）是相位調(diào)制。該耦合薛定諤方程介紹了在非線性光學(xué)系統(tǒng)中的橫向效應(yīng)，它也出現(xiàn)在非線性光纖的耦合波包和光孤子傳輸?shù)难芯恐小?/p>

本文的關(guān)鍵點在于針對該變系數(shù)3+1維耦合薛定諤方程，進行了深入的解析討論，借助符號計算給出了該方程的孤子解，并給出了孤子解之間的相互碰撞作用分析，這些理論的分析研究為以后光在通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面的應(yīng)用打下了較好的理論基礎(chǔ)。

1 雙線性形式

在本節(jié)，我們將利用計算機符號計算以及雙線性方法求出該（3+1）維耦合薛定諤方程的雙線性形式。首先，作因變量變換

其中，g，h和f是關(guān)于x，y，z和t的復(fù)可微函數(shù)，由以上變量變換我們可以得到方程（2）的雙線性形式如下：

2 方程的孤子解

在求孤子解的過程中，首先借助了小參數(shù)展開的方法，我們可以借助符號計算把g，h，f展開成小參數(shù)ε的冪級數(shù)形式

（a）單孤子解

為了得到方程（2）的單孤子解，把表達式（6）截斷成下列形式將式子（7），（8）帶入雙線性式子（5），可得

不失一般性，我們令E=l，可以得出方程（2）的下列單孤子解

（b）雙孤子解

同樣為了得到方程（3）的雙孤子解，在這里把表達式（6）截斷為其中這里的

不失一般性，我們令ε=1，可以得出方程（2）的下列雙孤子解

3 孤子的傳播與相互碰撞性質(zhì)

根據(jù)上面所得到的該耦合薛定諤方程的孤子解，下面借助由解得來的圖像來分析判斷單雙孤子解的形狀與運動性質(zhì)。

在圖1中的兩個單孤子解的傳播圖像可以看到，單孤子在傳播的過程中保持它們原來的方向、寬度和振幅不變。

如圖2描述了雙孤子之間發(fā)生的彈性碰撞，雙峰孤子可以穩(wěn)定的傳輸，而不改變原來的寬度和振幅，這種性質(zhì)可用于改善光傳輸系統(tǒng)。

4 結(jié)論

本文我們詳細研究了一個在光纖通信中的變系數(shù)3+1維的耦合薛定諤方程，通過雙線性方法并借助符號計算，我們推導(dǎo)出了該方程的雙線性形式以及單、雙孤子解。通過畫圖分析，研究了孤子傳播以及孤子的彈性彈性碰撞的相關(guān)特點種性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)雙孤子發(fā)生彈性碰撞，可以穩(wěn)定的傳輸，而不改變原來的寬度和振幅。

該方程描述了光脈沖在光纖中的傳輸與非線性光學(xué)的橫向效應(yīng)，當(dāng)色散項與非線性項達到某種平衡的時候，光纖可以在進行最大限度地?zé)o損傳播。利用好方程各項系數(shù)之間的相互作用關(guān)系，對于研究光纖的傳導(dǎo)是有著極大的用處的，使光脈沖變寬和變窄兩種效應(yīng)剛好抵消，能在光纖傳輸中保持不變，實現(xiàn)超長距離，超大容量的通信，另外也可據(jù)此解與圖像的分析得到的結(jié)果可能在光通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面有潛在的應(yīng)用。通過對這些理論的研究可以更好地為光纖通信的發(fā)展，奠定堅實的理論基礎(chǔ)，最大效率地達到光纖通信很好應(yīng)用的目的。