旋轉極小曲面中微分方程通解的解法
2016-04-08 01:48:20張雅靜田玉尚隨明
軟件 2016年2期
張雅靜++田玉++尚隨明
摘要：微分方程解析解（即通解）的求解方法十分復雜，數學領域對微分方程的研究著重在幾個不同的方面，但大多數都是關心微分方程的解.只有少數簡單的微分方程可以求得解析解不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部份性質.本文用加減消元法、微分方程解析解的求法及一些數學技巧給出了旋轉極小曲面中微分方程的通解.和其他文獻中該方程的解法進行比較，本文的方法更加簡單易懂。
關鍵詞：旋轉曲面；微分方程；Hamilton量守恒；懸鏈線；雙曲函數
中圖分類號：0175.11
文獻標識碼：A
DOI：10.3969/j.issn 1003-6970.2016.02.002
引言
微分方程指描述未知函數的導數與自變量之間的關系的方程.微分方程的解是一個符合方程的函數.而在初等數學的代數方程，其解是常數值，微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題，物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解，此外，微分方程在化學、工程學、經濟學、圖像處理和人口統計等領域都有應用，數學領域對微分方程的研究著重在幾個不同的方面，但大多數都是關心微分方程的解，只有少數簡單的微分方程可以求得解析解（即通解），不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部分性質.在無法求得解析解時，可以利用數值分析的方式，利用電腦來找到其數值解，近些年，有專家在最優問題中使用了微分方程這一工具，取得了很好的結果，在本文中，我們研究微分方程的通解解法。
眾所周知，求不定積分的方法有湊微分法、分部積分法等方法，有時還需要一些技巧才能把一個函數的不定積分求出來.但即使這樣，有些函數的不定積分根本就不是初等函數，即常說的不可積分，微分方程通解的求解方法更是復雜，有時求出來的通解還是隱函數的形式，很難顯化或無法顯化，使我們很難看出函數是哪類曲線的方程.本文討論了最優問題中旋轉極小曲面問題，該問題轉化為數學問題就是解微分方程問題，該微分方程屬于可求解類型.本文利用解微分方程的分離變量法先求出其隱式通解，并用一些數學技巧把隱式顯化，使讀者更容易看出該問題最優解的形式.同時將本文中的方程求解方法同其他文獻中的方法進行比較，優勢明顯。
上式是隱函數，u（x）的表達式不容易看出.故運用一些數學技巧將上式顯化，通過變形得到
1 正文
曲線C繞定直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉曲面，其中C為母線。而旋轉極小曲面是指在平面上給定兩點錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，Y1，y2>o，x1
設u（x1）=yi，i=l，2，并且u（x）>o，其旋轉曲面的面積是
本文要找到合適的u，使得，達到極小值，
由Hamilton量守恒公式
H（u（x），p（x））=L（u（x），p（x））-u（x）Lp（u（x），p（x））=c知，若u使得I達到極小值，則u滿足Hamilton量守恒公式，在本文中
這是一個可分離變量微分方程，關于微分方程通解的求法，很多文獻都有詳細的闡述。文獻對微分方程的解法做了系統的總結.而方程（2）的解即最小旋轉曲面的方程.下面我們求該微分方程的通解.
在文中有一個類似的問題，下面我們給出該問題的求解過程.
例：求長為L的柔軟而均勻的繩索，兩端系于A和B，在自重的作用下繩索下懸，求懸線的形狀。
解因為在平衡狀態時，重心應當取最低的位置，在此我們假定繩索是不可伸長的，并設A（xo，yo），B（x1，Y1）為端點的懸線。函數y=y（x）是條件變分：
觀察可知，例題與本文研究的問題雖然不同，但要求解的方程是一樣的，下面本文給出文作者給出的解法。
首先構造輔助函數
這個方程就是懸鏈線方程，其中λ，c1，c2由等周條件及邊界條件確定。
讀者比較這兩種方程的解法，易見前者明顯優于后者.后者解法看上去簡單，但讀者首先要知道懸鏈線的方程，還要十分熟悉雙曲函數的性質，才能理解文中的解法.若在文中用了三角函數的性質l+tan?t：sec?t，即令y=tanf，則，按照我們上面給的步驟代入，計算程度會更加復雜.故我們前面給的解法簡單、易懂。
3 結論
本文給出了最優問題中旋轉極小曲面的方程，其圖像是懸鏈線，并將本文的解題方法同文獻中的解法進行了比較，本文的更加簡單清晰.最后指出懸鏈線是一種曲線，它的形狀因與懸在兩端的繩索因均勻引力作用下掉下來之形相似而名，適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數，懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜電線等都用到懸鏈線的原理，本文中求解該方程用到了加減消元法和分母有理化的技巧，不然很難將方程的解顯化出來并看出其具體形狀，和文獻中已知結果再求方程的解法完全不同，本文提出的方法更加簡單易懂。
