GDP的增長和穩定問題的簡易數學模型

劉云忠

摘 要：運用數學和經濟學理論，推得GDP增長和穩定問題的簡易數學模型。此數學模型簡單實用，可以很好地解釋GDP的增長和穩定問題。

關鍵詞：GDP增長;穩定;數學模型

中圖分類號：F224 ? ? ? ?文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）22-0005-03

一、GDP的增長問題

國民收入的主要來源是生產，生產的發展促進了國民經濟的繁榮。國民收入的開支用于消費資金，投入自生產的積累資金和政府用于公共設施的開支。

假設1：y （t）是t時刻國民收入水平;G （t）是t時刻國民消費水平。G是政府用于公共設施的開支水平，一般認為是常量（在某一時間內）;I （t）是t時刻國家用于投入再生產的投資水平，且有：

Y=C+I+G ? ? （1）

假設2：k是消費系數，可以認為國民消費水平取決于國民收入水平，C=k×Y，k∈（0，1）;s是積累系數，s=1-k。

假設3：是t時刻的需求水平：

其中：h，W為常量。在這種情況下，國家生產水平將出現振蕩，當α>0時，生產水平下降，當α<0時，生產水平上升。

綜上，（9）式給出了一個國家GDP的增長趨勢。

二、GDP的穩定問題

假設1：國民收入主要用于消費，再生產投資和政府用于公共投資的開支。

假設2：設Yk是第k個周期內的國民收入水平，Ck是第k個周期內的消費水平，Ck的值是由前一個周期的國民收入水平確定的。即：

Ck=AYk-1 ? ?（10）

其中，A是常數，0<A<1。

假設3：設Ik是第k個周期內用于再生產的投資水平，它取決于消費水平的變化，即：

Ik=B（Ck-Ck-1） ? ?（11）

其中，B是常數，B>0。

假設4：G是政府用于公共設施的開支，設為常量。

根據假設，有Yk=Ck+IK+G ? ? ? ? （12）

將（10）式、（11）式代入（12）式，有：

Yk=AYk-1+B（Ck-Ck-1）+G

=AYk-1+BAYk-1-BAYk-2+G

所以，YK-A（1+B）Yk-1+BAYk-2=G ? （13）

（13）式是一個遞推的差分方程，就可以預推國民收入水平的發展趨勢，如果給定Y0，Y1，A，B，G的值，由（13）式可以預推的Y2值。若令K=3，4，5，……，且連續使用（13）式，是可以預推Y3，Y4，Y5……的值。

下面求解（13）式。

取其特解：

很顯然，由于0<A<1，B>0，當K→∞時，YK→+∞，國家經濟同樣出現不穩定局面。