一種具有免賠額保單的保費估計與優化研究

邱美玲, 程叢電

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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一種具有免賠額保單的保費估計與優化研究

邱美玲, 程叢電

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

基于具有免賠額保單的重要性與最近莊小紅等的一項工作,研究免賠額設置與保費厘定問題。從設置免賠額后總賠償額不應減少的觀點出發,建立一種新式賠償方案(EPM)和一個表現承保人相關期望經濟效益的數學模型(OPM)。在各次索賠額彼此獨立且服從于同一對數正態分布和具有一定的以往賠償記錄的條件下,遵照方差相關原理,根據莊小紅等工作中的有關結論,導出下年度應收取保費的極大似然估計。依靠所得估計,運用分析方法研究OPM,發展了優化承保人期望經濟效益的一種方法。所建立的賠償方案與所發展的優化方法可為承保人確定具有免賠額保單的免賠額度與保費額度提供一定的參考與依托。

保費; 賠償; 期望經濟效益; 極大似然估計; 統計優化; 誤差界

0 引 言

保費是保險公司為履行一定的保險責任向投保人收取的實際金額。它的收取是保險公司正常運營的基礎,其合理的定價對于公司的生存和發展至關重要。保費定價過低會使保險公司陷入經營困境甚至會導致破產,定價過高會使保險公司降低市場競爭力且會增加被保險人的負擔,因此保費定價對保險公司來說是非常重要的精算問題.保費的厘定就是要求出一個適當保費,它不僅可以應付賠償(理賠),而且還會使得保單組合的盈余足夠快的增長.保費的厘定,對保險公司的生死存亡至關重要,因此合理的定價模式,一直備受保險工作者和理論界的廣泛關注.

早在上世紀中葉國外就已有不少學者致力于保費定價方面的研究,例如,MICHAEL等[1](1978)與 RAVIV[2]討論了保費定價問題。近20年來,國內關于該方面的研究發展較快。例如,1997年,謝志剛[3]研究了如何收取合理的保費,并決定合理的自留額和準備金數額,使公司保持良好的運作狀態。2004年,陳飛躍[4]探討了效用理論在保險實務中的4個應用。2006年,鄧志民[5]建立與研究了一種投資收益下的保費定價模型。2011年,王桂勝等[6]探討了在完全競爭的保險市場條件下如何制定最佳非壽險保費策略以促進公司的發展;王兵娜[7]提出了一種基于效用函數的無套利保險定價思想;溫利民等[8]在指數保費原理下討論了保費的經驗厘定問題。2012年,魏艷華等[9]引入效用函數來描述決策者的風險態度,并討論了效用理論在保險產品定價及確定最優投保方式中的應用。2013年,方顥等[10]考慮了具有廣義FGM相依結構的復合泊松過程的Esscher定價泛函。2014年,張立東[11]探討了將數據挖掘的建模、驗證和使用4個環節集成于保險企業的定價系統之中的可行性;同年,彭俊杰[12]研究了數據挖掘技術在汽車保險理賠風險控制中的應用。

當前,大多數的保險險種中都涉及到免賠條款,免賠條款是保險人對保險理賠進行限制的一種方式,其主要思想是: 通過設置免賠額,減少一些頻繁發生的小額賠付支出,提高被保險人的責任心和注意力,從而降低風險,同時也降低保險公司的經營成本。免賠額的確定與相關保費定價是既古老又新穎的實際問題與研究問題,不少專著有所論述,如BEWERE的風險理論[13]。1978年MICHAEL[1]等討論了具有免賠條款的保險人保費定價策略。2014年莊小紅等[14]研究了關于具有免賠額保單下年度保費的矩估計與極大似然估計并進行了數值模擬與相關探討。

基于上述工作,并鑒于保險市場日益繁榮的實際狀況,本文對關于具有免賠額的保單,提出一種新的理賠方案,并參考莊小紅等的工作,在方差相關保費原理下,給出一種基于以往賠付記錄預測下次應收取保費的極大似然估計。此外,本文還將建立一個表現公司期望經濟效益的數學模型,并進行一定的優化研究。

1 模 型

1) 預測模型

關于一份具有免賠額b且年索賠額為隨機變量X的保單,假設實際年賠償額為

(1)

每年的索賠額Xi相互獨立且服從于同一對數正態分布LN(μ,σ2)。文獻[14]在觀測到該保單前n年的索賠記錄Y1,Y2,…,Yn,與方差相關保費原理,即第n+1年的保費為:Pn+1=E(Yn+1)+g(Var(Yn+1)),其中g(x)為[0,+∞]→[0,+∞]的單調連續遞增函數,且g(0)=0的條件下,探討了關于Pn+1的預測問題。鑒于該項工作和當前保險項目逐漸增多與繁榮,及合理的賠償與收繳保費可以激發人們的投保熱情,從而促進保險事業健康發展的觀點,本文試進一步探討下述保費預測問題EPM。

EPM:關于具有免賠額b且年索賠額為X的保單,假設實際年賠償額為

(2)

每年的索賠額Xi相互獨立且服從于同一對數正態分布LN(μ,σ2),試在最近n次索賠記錄Z1,Z2,…,Zn,與方差相關保費原理,即下年保費為:P=E(Z)+g(Var(Z)),其中g(x)為[0,+∞]→[0,+∞]的單調連續遞增函數,且g(0)=0,的條件下探討關于P的預測問題。

2) 優化模型

(3)

顯然,尋求b使得R(b)最大形成一個優化問題,下面用OPM表示這一優化問題。依照統計優化的觀點,對于該問題的研究可以幫助探索、尋找使得公司于該項目所獲收入最大的免賠額b,從而優化公司的項目決策。

2 保費估計

定理1 關于問題EPM中的P的極大似然估計為

(4)

其中:

(5)

(6)

而

(7)

(8)

且

(9)

證明 易知

(10)

(11)

由式(10)與式(11)可得

(12)

另一方面

(13)

(14)

由式(13)與式(14)可得

(15)

最后,根據文獻[14]知式(7),式(8)和式(9)成立;根據極大似然估計的不變性知式(4)成立;根據極大似然估計的不變性和式(12)與式(15)知式(5)與式(6)成立。綜上,本定理正確。

3 優化研究

(16)

證明 易知存在i″使得xi″-1

證明 根據條件式(1)、式(2)和式(3)可得

由式(3),

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

從而,

(22)

4 數值模擬

本節匯報我們利用Mathlab對P(Z)的極大似然估計進行數值模擬結果。

表1 方差保費原理與標準差保費原理下極大似然估計的均方誤差表

由表可見:隨著樣本容量n的增大均方誤差遞減趨近于0,這說明我們的方法對于大樣本容量是有效的。

5 結 語

本文發展了一種新的免賠方案與一種表現承保人相關期望經濟效益的數學模型,根據莊小紅等最近的一項工作,在方差相關保費原理下,給出了一種基于以往賠償記錄預測下一年度應收保費的極大似然估計,并根據所建立的模型進行了一定的優化研究。改用其他方式預測該保險項目次年應收保費,在索賠額服從其他分布的條件下研究本文所討論的問題,及探索更加先進的保險項目等是值得進一步考慮的問題。

[1]MICHAEL L S, GEORGE L H. Guidelines for insurers in pricing deductibles[J]. J Risk Insurance, 1978,45(2):217-238.

[2]RAVIV A. The design of an optimal insurance policy[J]. Am Eco Rev, 1979,69(1):84-96.

[3]謝志剛. 效用分析與保險定價決策研究[J]. 財經研究, 1997(8):27-31.

[4]陳飛躍. 效用理倫在保險實務中的應用[J]. 中國保險管理干部學院學報, 2004(3):21-23.

[5]鄧志民. 投資收益下的保費定價模型[J]. 南開大學學報(自然科學版), 2006,39(6):95-97.

[6]王桂勝,陳秉正.基于隨機控制的非壽險保費定價策略[J]. 清華大學學報(自然科學版), 2011,51(6):827-830.

[7]王兵娜. 基于效用函數的無套利保單定價模型[D]. 天津: 南開大學, 2011.

[8]溫利民, 吳賢毅. 指數保費原理下的經驗厘定[J]. 中國科學:數學, 2011,41(10):861-876.

[9]魏艷華,王丙參,孫春曉. 效用函數與保費定價原理[J]. 重慶文理學院學報(自然科學版), 2012,31(1):31-34.

[10]方顥,王傳玉,張大偉. 具有廣義FGM相依結構的復合泊松過程的Esscher定價泛函[J]. 數學理論與應用, 2013,33(3):57-62.

[11]張立東. 基于數據挖掘模型的車險保費個性化定價系統研究[D]. 秦皇島: 燕山大學, 2014.

[12]彭俊杰. 基于數據挖掘技術的汽車保險理賠風險控制研究[D]. 長春: 吉林大學, 2014.

[13]BEWERE N L, GERBER H U, HICKMAN J C, et al. 風險理論[M]. 鄭韞瑜,余躍年,譯. 上海: 上海科學技術出版社, 1995:15-19.

[14]莊小紅,溫利民,張溢. 方差相關保費原理下具有免賠額的保費估計[J]. 統計與決策, 2014(14):15-17.

[15]ROSS S M. Stochastic processes[M]. New York: J Wiley, 1983.

Cost estimation and optimization research for a new kind of deductible insurance

QIUMeiling,CHENGCongdian,

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The problems of setting up franchise and determining insurance premiums are studied based on the importance of insurance policy with franchise and the recent related work of ZHUANG Xiaohong et al. A new compensation scheme (EPM) and a mathematical model (OPM) which expresses the corresponding expected economic benefit of insurers are established from the viewpoint of total amount of compensation should not be reduced after setting up a franchise. Under the conditions that the amounts of insurance claims, which are all subject to a same lognormal distribution, are mutually independent and one has a certain past record of compensations, a maximum likelihood estimation on the premium of next year is derived based on the principle of correlation variance and the related conclusions in the work of ZHUANG Xiaohong et al. Further, an approach to optimize the expected economic benefits of insurers is developed by investigating the OPM analytically with the estimated premium of next year. The established compensation scheme and the developed optimization approach can provide references and suggestions for insurers to determine the franchise and premium of their insurance policy.

premium; compensation; expected economic benefit; maximum likelihood estimation; statistical optimization; error bound

2015-09-14。

國家自然科學基金資助項目(11401393)。

邱美玲(1990-),女,遼寧凌源人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者:程叢電(1966-),男,四川隆昌人,沈陽師范大學教授。

1673-5862(2016)01-0051-06

O212; O224;F840

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.012