雙參數有界算子C群的生成定理

薛 雙, 趙華新, 薛風風

(延安大學 數學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

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雙參數有界算子C群的生成定理

薛 雙, 趙華新, 薛風風

(延安大學 數學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

在Banach空間上,根據雙參數C半群的無窮小生成元與C群的性質,提出雙參數有界算子C群的無窮小生成元是雙參數有界線性算子在(0,0)處的全微分與C-1的積。定理1證明雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質;定理2根據雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質,提出線性變換是雙參數有界算子C群的無窮小生成元的充要條件,即雙參數有界算子C群的生成定理,并且給予證明。最后,總結雙參數有界算子C群的性質,并且研究雙參數有界算子C群有利于雙參數C半群以及算子半群等在C群方向的進一步研究。

雙參數; 有界算子C群;C半群; 無窮小生成元

0 引 言

算子半群理論的研究是近年算子理論研究的熱點問題。在文獻[1-3]中,趙華新等介紹了雙參數C半群的生成元及其一些性質,文獻[4]介紹了雙參數C半群的性質,文獻[5]證明了雙參數C0有界算子群的性質,趙華新在文獻[6]中提出了C半群的可逆性與C群概念,文獻[7]給出了廣義C0算子群,高峰在文獻[8]中研究了廣義C半群的生成元和性質,陳文忠在文獻[9]給出了C-無窮小生成元的表示式。本文基于上述文獻的研究,證明雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質和雙參數有界算子C群生成定理。

文中的空間X是Banach空間,所有的算子是有界線性算子,C表示X上的有界單射算子,B(X)表示X上所有的有界線性算子,D(A)表示算子A在X上的定義域,R2=(-∞,+∞)×(-∞,+∞)。

1 主要內容

定義1 在空間X上,若雙參數有界線性算子{T(s,t)}s,t∈R滿足以下條件:

1) T(0,0)=C

2) CT((s1,t1)+(s2,t2))=T(s1,t1)T(s2,t2),?s1,s2,t1,t2∈R

3) 映射(s,t)→T(s,t)x 強連續,?s,t∈R;?x∈X

則稱{T(s,t)}s,t∈R稱為雙參數有界算子C群。

定義2 雙參數有界算子C群{T(s,t)}s,t∈R的無窮小生成元是T(s,t)在(0,0)處的全微分與C-1的積,記作(A1,A2)。

下面給出雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質。

上式中的A1,A2分別是單參數有界算子C群T(s,0)s∈R和T(0,t)t∈R的無窮小生成元,滿足

并且

證明 設映射T:R2→B(X),存在線性變換L,使得當(s,t)∈U(0,0) (點(0,0)的某個領域 )時,有

設A1,A2分別是單參數有界算子C群T(s,0)s∈R和T(0,t)t∈R的無窮小生成元。令

(1)

因為T(s,0)在(0,0)的一個領域中有界,故式(1)兩邊取極限(s,t)→(0,0)時有

所以有

故由定義2可得C-1d(T(s,t))|(s,t)→(0,0)=(A1,A2),即線性變換(A1,A2)是雙參數有界算子C群{T(s,t)}s,t∈R的無窮小生成元。證畢。

上面證明了雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質,下面給出雙參數有界算子C群的生成定理。

2) (-∞,-ωj)∪(ωj,+∞)?ρ(Aj),j=1,2

4) D(A1A2)∩D(A1)=D(A1A2)∩D(A2)=D≠{0},

D(A1(λ0-A2))?D(A1A2),?λ0∈ρ(A2);A1A2x=A2A1x,?x∈X

證明 必要性

設v=(m,n)∈R2,S(h)=T(hv)

(2)

充分性

所以A1,A2是閉稠定算子,由條件(2)、(3)得A1,A2是滿足條件|T1(s)|≤M1e|ω1|s,|T2(t)|≤M2e|ω2|t的單參數有界算子C群T1(s)s∈R,T2(t)t∈R的無窮小生成元。

又由于A1,A2滿足條件(4),當x∈D時,T1(s)s∈R與T2(t)t∈R可以交換。

s→(s,0),t→(0,t)是單射,可以把T1(s)看做T(s,0),T2(t)看做T(0,t),則T(s,t)=C-1T(s,0)T(0,t)是滿足‖T(s,0)‖≤M1e|ω1|s,‖T(0,t)‖≤M2e|ω2|t,即

的雙參數有界算子C群,其無窮小生成元是(A1,A2)。證畢。

3 結 語

文中主要介紹了雙參數有界算子C群的無窮小生成元的性質和雙參數有界算子C群的生成定理,有利于以后關于雙參數C半群、算子半群及C群等性質的研究。

[1]徐敏,趙華新,趙拓. 雙參數C半群的一些結果[J]. 沈陽師范大學學報(自然科學版), 2013,31(3):363-366.

[2]徐敏,趙華新,趙拓. 雙參數C半群 Yosida逼近的應用[J]. 江西科學, 2013,31(5):580-582.

[3]徐敏,趙華新,趙拓. 雙參數C半群的生成元及其性質[J]. 河南科學, 2013,31(8):1-4.

[4]黃翠,王彩俠,張明翠,等. 雙參數C-半群[J]. 純粹數學與應用數學, 2013,29(3)299-305.

[5]蔡亮,宋曉秋,李玉霞. 雙參數C0有界算子群[J]. 黑龍江科技學院學報, 2011,21(1):77-80.

[6]趙華新,李曉愛.C-半群的可逆性與C-群[J]. 延安大學學報(自然科學版), 1997,16(2):10-13.

[7]劉瑞,趙華新,馬強強,等. 廣義C0算子群[J]. 延安大學學報(自然科學版), 2009,28(4) :23-31.

[8]高峰,趙華新. 廣義C半群的生成元和性質[J]. 沈陽師范大學學報(自然科學版), 2012,30(2):137-140.

[9]陳文忠.C-無窮小生成元的表示式[J]. 廈門大學學報(自然科學版), 1993,32(2):135-140.

Generation theorem of two parameter bounded operatorCgroups

XUEShuang,ZHAOHuaxin,XUEFengfeng

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China)

According to the property of the infinitesimal generator of two parameterCsemigroups andCgroups in the Banach Space, it is introduced that the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups is the multiplication of the total differential of two parameter bounded operator at(0,0)andC-1. It proves the property of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups in the theorem one. Then, according to the property of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups, that linear transformation is the necessary and sufficient condition of the infinitesimal generator of two parameter bounded operatorCgroups, namely the generation theorem of two parameter bounded operatorCgroups, is obtained in the theorem two. Finally, it is summarized that the property of two parameter bounded operatorCgroups. And the study of two parameter bounded operatorCgroups is favorable for the further study of two parameterCsemigroups andCgroups.

two parameter; bounded operatorCgroups;Csemigroups; infinitesimal generator

2014-12-09。

陜西省教育廳專項科研計劃項目(2013JK0570)。

薛 雙(1990-),女,陜西清澗人,延安大學碩士研究生; 通信作者:趙華新(1964-),男,陜西延長人,延安大學教授。

1673-5862(2016)01-0041-04

O177.2

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.010