非線性多時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

李明俠, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

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非線性多時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

李明俠, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

研究了一類帶有多時滯攝動的非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析以及切換律的設計問題。由于時滯現(xiàn)象存在于大多數(shù)的切換系統(tǒng)中,而且時滯會使系統(tǒng)的性能變差,甚至破壞整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此對于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究,要把時滯考慮在內(nèi)。首先,構(gòu)造一個適當?shù)腖yapunov-krasovskii函數(shù)(LKF);然后,對LKF進行求導,對于該導數(shù)通過引入自由權(quán)矩陣,利用積分不等式和shur補引理以及線性矩陣不等式理論(LMI)進行推導;最后,以線性矩陣不等式的形式給出了非線性多時滯切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并給出了穩(wěn)定切換律的存在條件。將單個時變時滯推廣到多時變時滯,使得非線性時變時滯系統(tǒng)的研究更具一般性。

非線性; 多時滯; 切換系統(tǒng); 切換律

0 引 言

切換系統(tǒng)是由一系列子系統(tǒng)及一個切換規(guī)則組成,這個切換規(guī)則決定了哪個子系統(tǒng)被激活[1]。時滯現(xiàn)象較為普遍,時滯現(xiàn)象使得系統(tǒng)的分析更加復雜,而且時滯是導致系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要因素。基于上述原因,時滯切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究受到了廣泛關注。到目前為止,時滯切換系統(tǒng)的研究已有很大進展。時滯系統(tǒng)的研究根據(jù)其穩(wěn)定性條件分為時滯相關穩(wěn)定性判據(jù)和時滯無關穩(wěn)定性判據(jù),而現(xiàn)實的模型多為非線性,因此,對非線性時滯切換系統(tǒng)的研究具有很重要的理論價值和現(xiàn)實意義。

切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的3個最基本問題分別是:在任意切換信號下切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性;在給定切換序列下切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性;找到使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定的切換序列,即切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題[2]。本文主要研究切換信號的設計穩(wěn)定。切換系統(tǒng)性分析的方法有多Lyapunov函數(shù)方法、單Lyapunov函數(shù)方法、平均駐留時間方法[3]等。劉正凡等[4]利用狀態(tài)依賴控制策略對切換信號進行設計,使得一類參數(shù)不確定時滯非線性切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。程桂芳等[5]研究了具有多時滯線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。張等[6]研究了含有2個常時滯的線性切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。本文研究了非線性多時變時滯切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。

1 問題描述

考慮下列多時滯非線性切換系統(tǒng):

(1)

(2)

(3)

其中:矩陣Λi,Γi,Ψi為已知常矩陣;系統(tǒng)矩陣Ai,A1i,A2i為適當維數(shù)的已知實矩陣。

定義1[7]給定常數(shù)γ>0,系統(tǒng)(1)稱為指數(shù)穩(wěn)定的,若存在一個切換σ(·)和正數(shù)c使得系統(tǒng)x(t,φ(t))的任何解滿足下述條件:

(4)

定義2[2]對于任意T2?T1?0,使得Nσ(T1,T2)表示T1,T2之間的切換次數(shù)。如果對于Ta?0,N0≥0,Nσ(T1,T2)≤N0+(T2-T1)/Ta成立,則Ta叫做平均駐留時間。

引理1[8]對于任意適當維數(shù)的矩陣Z,Y∈Rn和正定對稱矩陣X∈Rn×n,下面不等式恒成立:

(5)

引理2[9]假設條件(2)滿足,對于系統(tǒng)(1)的任意解x(t)和常數(shù)矩陣Wi>0,則下列積分不等式成立:

(6)

2 主要結(jié)果

本文研究了系統(tǒng)(1),為其設計適當?shù)那袚Q信號,利用多Lyapunov函數(shù)方法,使每個Lyapunov函數(shù)都沿子系統(tǒng)的解遞減,以此來保證整個系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。

(7)

μ≥1且滿足

(8)

其中

證明 考慮下列LK函數(shù)

(9)

則LK函數(shù)沿著系統(tǒng)(1)的導數(shù)為

(10)

由引理2,

同理,

根據(jù)引理2,下列不等式成立:

對于任意適當維數(shù)矩陣G1i,G2i,G2i,G2i,由引理2,可得

(11)

(12)

(13)

(14)

由Shur補引理上式可化為

其中

當t∈[tk,tk+1)時,Vi(xt)≤e-γ(t-t0)Vi(tk)x(tk)

(15)

根據(jù)a,b的定義式和(9)的定義,下面不等式成立:

(16)

由式(15)和式(16),得

根據(jù)定理和指數(shù)穩(wěn)定定義得系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定。

3 結(jié) 論

本文通過引入自由權(quán)矩陣,運用平均駐留時間方法和多Lypunov函數(shù)方法以線性矩陣不等式的形式,給出了非線性多時滯切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,并給出了指數(shù)穩(wěn)定的切換律。這個穩(wěn)定性條件并不要求每個子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。在文中給定的切換下系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

[1]鄭剛,譚民,宋永華. 混雜系統(tǒng)的研究進展[J]. 控制與決策, 2004,19(1):7-12.

[2]LIBERZON D. Basic problems in stability and design of switched systems[J]. IEEE Control Syst Mag, 1999,19(5):59-70.

[3]HESPANHA J P. Stability of switched systems with average dwell-time[C]∥Proc 38th IEEE Conf on Decision and Control, 1999:2655-2660.

[4]劉正凡,蔡晨曉,段文勇,等. 不確定切換時滯非線性系統(tǒng)狀態(tài)切換的指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 控制與決策, 2014,29(12):2247-2252.

[5]程桂芳,馬睿,魏菊梅,等. 多時滯線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其反饋鎮(zhèn)定[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2009,39(9):209-213.

[6]ZHANG X. Analysis of robust stability for switched systems with multiple time-delays[J]. J Control Theory Appl, 2011,9(2):283-288.

[7]PHAT V N, BOTMART T, NIAMSUP P. Switching design for exponential stability of a class of nonlinear hybrid time-delay systems[J]. Nonlinear Analysis: Hybrid Syst, 2009,3(1):1-10.

[8]WANG L, SHAO C. Robust stability analysis of switched uncertain systems with multiple time-varying delays and actuator failures[J]. J Control Theory Appl, 2011,9(2):267-272.

[9]LIEN C H, YU K W, CHUNG Y J, et al. Switching signal design for global exponential stabilityof uncertain switched nonlinear systems with time-varying delay[J]. Nonlinear Anal: Hybrid Syst, 2011,5(1):10-19.

Stability of nonlinear mulit-delay switched system

LIMingxia,LIUYuzhong

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The problem of exponential stability of uncertain switched nonlinear multiple time-delays systems is discussed. Delay phenomenon is often encountered in various switched systems, which makes the performance of the system worse,and it even disrupts the stability of the entire system. so the study of the switched system should take time-delay into account. First, we can construct a suitable Lyapunov-krasovskii function to calculate the derivative of the function. Then we can Introduce free-weighting matrix, utilize integral inequality, Shur complement lemma and linear matrix inequalities(LMI) for the derivation. At last, there is sufficient condition for the existence of a class of stabilized switching laws and derive in terms of linear matrix inequality. The single time-varying delay is extended to multiple time-varying delay, which generalizes the study of nonlinear time varying delay systems.

nonlinear; time-delay; switched systems; switching law

2015-09-24。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

李明俠(1990-),女,遼寧凌源人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者:劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2016)01-0018-05

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.005