線性時滯切換系統的魯棒H∞控制

由 樣, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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線性時滯切換系統的魯棒H∞控制

由 樣, 劉玉忠

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

在研究一類區間時變時滯線性系統穩定性的基礎上,針對一類時變時滯線性切換系統狀態反饋的H∞控制問題,研究了系統的魯棒H∞控制器的設計問題,利用多Lyapunov函數方法定義了更為一般的Lyapunov函數,通過使用倒數凸組合的方法得到了系統在切換規則下達到魯棒鎮定且滿足H∞的充分條件,以及系統的魯棒H∞控制器存在的充分條件。此條件充分考慮到時滯上下界的信息,使得到的結果具有更小的保守性。與此同時,在計算Lyapunov函數的導數時使用Jensen積分不等式的放縮方法和線性矩陣不等式的方法,同樣降低了保守型。最后,使用線性變換降低了計算的復雜程度。為了方便利用Matlab工具箱求解線性矩陣不等式,將最終得到的充分條件轉化成線性矩陣不等式的形式表示。

時滯切換系統; 魯棒H∞控制; Jensen積分不等式;倒數凸組合; 線性矩陣不等式

時滯現象在控制工程方面是普遍存在的,近些年,很多方法已經用于時滯系統的穩定性研究和控制器的綜合,一些時滯依賴穩定性的研究結果已經發表,這些有效的結果是降低保守性、改善穩定性的標準。對于時滯系統的研究已經取得了一些研究成果,文獻[1]基于Lyapunov泛函,研究了時變時滯屬于一個區間的線性時滯系統的指數穩定性問題,文獻[2]利用倒數凸組合的方法,結合Jensen積分不等式方法研究了時變時滯系統的穩定性問題。但是對時變時滯切換系統的研究成果還不夠豐碩。文獻[3]利用平均駐留時間方法,利用倒數凸組合以及矩陣不等式方法研究了一類時變時滯切換系統的穩定性問題,文獻[4]利用積分等式的方法通過引入自由權矩陣研究了時滯切換系統的穩定性問題,文獻[5]利用積分不等式和自由權矩陣的方法研究了不確定時變時滯切換系統的魯棒H∞控制問題。

本文通過定義更為一般的Lyapunov函數,利用Jensen積分不等式和倒數凸組合方法研究了線性時變時滯系統的魯棒H∞控制問題,這種方法不需要時滯函數的導數的信息,只要求時滯函數的上方有界。

1 問題描述

考慮如下的時滯系統

(1)

其中:x(t)∈Rn表示狀態變量;u(t)∈Rm表示輸入向量;ω(t)∈Rl表示干擾輸入;Z(t)∈Rq表示輸出向量;σ(·):[0,∞)→{1,2,…,n}=N表示分段常值切換信號,σ(t)=i表示第i個子系統在t時刻被激活,Aσ(t),Ahσ(t),Bσ(t),Dσ(t),Cσ(t),Chσ(t),Eσ(t),Gσ(t)都是適當維數的常數矩陣;φ(t)表示一個用來確定系統初始狀態的連續函數;h(t)表示時變時滯,滿足

(2)

其中μ為常數。

設計狀態反饋控制器u=Kσ(t)x(t),結合系統(1)和切換規則σ(t),則系統(1)可寫為

(3)

2 主要結果

(4)

則存在子控制器和切換規則使得切換系統(1)滿足魯棒H∞性能,如果不等式(4)有解,則相應的子控制器為Ki,切換規則可選取為

其中

其他位置是0或者是相應的對稱形式,“*”為相應的對稱矩陣:

對Vi(t)沿切換系統(3)的軌跡,在切換序列作用下對時間t求導數。

(5)

(6)

由Jensen積分不等式和引理可得

(7)

(8)

由Schur補引理結合不等式(4),可知

(9)

其中φi為7×7的對稱矩陣,

矩陣中其余元素求法與φi11求法類似,其他位置或是“0”或是“φi”的對稱形式

結合不等式(4)和不等式(10),當ω(t)=0時,存在一個常數β,滿足

因此,系統(3)在條件(i)下是漸近穩定的。

不等式(4)含有非線性形式,不是線性矩陣不等式,不能利用MATLAB進行求解,所以要設法將不等式(4)轉化成線性矩陣不等式。

在ψ的左右兩邊分別乘以對角矩陣

證明過程與定理類似。

3 結 論

本文討論了線性時變時滯系統的魯棒H∞控制問題,通過定義更為一般的Lyapunov函數,結合Jensen積分不等式和倒數凸組合技術得到需要的條件,系統穩定性和控制器存在的充分條件,然后將條件轉化成線性矩陣不等式的形式表示。

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RobustH∞control for a class of linear switched systems with time-varying delay

YOUYang,LIUYuzhong

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

On the basis of studying the stability of time-varying delay linear systems, which is a differentiable function for a given interval, and aiming at the control problem for a class of switched time-varying delay linear systems, this paper considers the designing issue ofH∞robust controllers for a system, a more general Lyapunov function is defined by multiple Lyapunov function method, and through reciprocally convex approach, sufficient conditions are obtained, which make the system reaches robust stabilization, meetH∞Performance Bound and ensure the existence of the controllers, these conditions sufficiently consider the upper and lower bound of delay, make the developed results have less conservatism, at the same time, As the same time, Jensen integral inequality approach and linear matrix inequality (LMI) are employed so as to get a less conservative result, when the derivative of Lyapunov function is calculated, finally, linear transformation is used to reduce the calculating complexity. For convenience, Matlab toolbox is utilized to solve linear inequalities so as to express the sufficient conditions got at last with the form of linear matrix inequality (LMI).

time-delay switched systems; robustH∞control; Jensen integral inequality; reciprocally convex approach; linear matrix inequality

2015-09-14。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

由 樣(1990-),女,遼寧丹東人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者:劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2016)01-0014-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.004